Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

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- Geometrie

- Analysis

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- Differentialgeometrie

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   - Metrische Räume

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      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

          Innere, äußere und

          Randpunkte

          Offener Kern

          Offene Mengen

          Abgeschlossene Mengen

          Rand und abgeschlossene

          Hülle

          Häufungspunkte

          Dichte Mengen

          Cantormenge

          Zusammenhang

      - Folgen und Konvergenz

      - Abbildungen und Stetigkeit

      - Kompaktheit

       Gleichmäßige Stetigkeit

   - Topologische Vektorräume

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Offener Kern

Sei M ein metrischer Raum und eine Teilmenge davon.

Die Menge der inneren Punkte von A heißt Inneres oder offener Kern und wird mit A° bezeichnet.

Satz 5226A (Eigenschaften des offenen Kerns)

Für alle Teilmengen A, B eines metrischen Raums M gilt:

1. 
2. 
3. A°° = A°
4. und M° = M
5. A° besteht genau aus denjenigen Punkten, die A als Umgebung haben.

Beweis

(i) , da .

(ii) , da .

(iii) klar wegen (i) und (ii).

Sei . Nach Satz 16RB existiert , sodass U(x) Umgebung für alle Punkte ist. Damit sind alle Punkte innere Punkte von A, also , also ist x innerer Punkt von A°.

(iv) enthält keine Punkte, also auch keine inneren.

M° = M, da M stets Umgebung von x.

(v) "": , nach Satz 16RB ist A Umgebung von x.

"": Ist A Umgebung von x, so ist x innerer Punkt von A und es gilt .

Satz 16RD (Offener Kern und Mengenoperationen)

Sei M ein metrischer Raum, I eine Indexmenge und {A_i } eine Mengenfamilie. Dann gilt:

1. ,
2. ,
3. Ist I = {1, 2, ..., n} endlich, so gilt
   .

Beweis

(i) x ist innerer Punkt von (). x ist also innerer Punkt aller A_i , d.h. () .

(ii) . Damit ist x innerer Punkt von A_k , also auch von .

(iii) für k = 1, ..., n. x ist also innerer Punkt aller A_k , es gibt also für jedes k eine Umgebung . Nach Satz 16RB ist eine Umgebung von x, daher ist x innerer Punkt von . .

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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