Numerik

Die Numerik (numerische Mathematik) beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme.

Überblick

Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der beiden folgenden Gründe:

  1. Es gibt zu dem Problem keine explizite Lösungsdarstellung (so zum Beispiel bei den Navier-Stokes-Gleichungen oder dem Dreikörperproblem) oder
  2. die Lösungsdarstellung existiert, ist jedoch nicht geeignet, um die Lösung schnell auszurechnen beziehungsweise sie liegt in einer Form vor, in der Rechenfehler sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen Potenzreihen).

Unterschieden werden zwei Typen von Verfahren. Einmal direkte, die nach endlicher Zeit bei unendlicher Rechnergenauigkeit die exakte Lösung eines Problems liefern und auf der anderen Seite Näherungsverfahren, welche - wie der Name sagt - nur Approximationen liefern. Ein Beispiel für ersteres ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, welches die Lösung eines linearen Gleichungssystems liefert. Näherungsverfahren sind unter anderem Quadraturformeln, die den Wert eines Integrals näherungsweise berechnen oder auch das Newton-Verfahren, das iterativ bessere Approximationen an eine Nullstelle einer Funktion liefert.

Unterschiedliche Verfahren werden nach Laufzeit, Stabilität und Robustheit verglichen.

Es ist kennzeichnend für die Methoden der numerische Mathematik, dass die auftretenden Zahlenwerte nur mit beschränkter Genauigkeit dargestellt werden (vergleichbar der begrenzten Anzahl von Ziffern auf einem Taschenrechner). Dies unterscheidet numerische Verfahren von den symbolischen Verfahren der Computer-Algebra.

 
 

Fehleranalyse

Ein Aspekt bei der Analyse der Algorithmen in der Numerik ist die Fehleranalyse. Bei einer numerischen Berechnung kommen verschiedene Typen von Fehlern zum Tragen: Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen treten unvermeidlich Rundungsfehler auf. Diese Fehler lassen sich zwar zum Beispiel durch eine Erhöhung der Stellenzahl verkleinern. Ganz beseitigen kann man sie aber nicht, da jeder Computer prinzipiell nur mit endlich vielen Stellen rechnen kann.

Wie das Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, was eine numerische Lösung erschwert, insbesondere da Rundungsfehler als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. Man spricht von einem schlecht gestellten Problem, das nach Möglichkeit durch eine Umformulierung umgangen werden sollte.

Das numerische Verfahren ersetzt ferner das kontinuierliche mathematische Problem durch ein diskretes, also endliches Problem. Dabei tritt bereits der so genannte Diskretisierungsfehler auf, der im Rahmen der Konsistenzanalyse abgeschätzt und bewertet wird. Dies ist notwendig, da ein numerisches Verfahren im Regelfall nicht die exakte Lösung liefert.

Wie sich solche Fehler beim Weiterrechnen vergrößern, wird mit Hilfe der Stabilitätsanalyse bewertet.

Konsistenz und Stabilität des Algorithmus führen im Regelfall zu Konvergenz.

Teilgebiete

Teilgebiete der Numerik sind unter anderem:

Eine kommentierte Zusammenstellung von ausgewählten numerischen Verfahren findet man unter: Liste numerischer Verfahren.

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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