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Null hoch Null

In der Definition der Potenz wurde a⁰ = 1 für alle a gesetzt, also ist insbesondere

Da 0^x für alle positiven x den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass 1 keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von 0⁰ ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig.

„Null hoch null“ in der Mathematik

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend 0⁰ = 1 gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin Louis Cauchy listete allerdings 0⁰ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie 0/0 in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. Er wollte damit anscheinend darauf hinweisen, dass man zu jeder reellen Zahl Funktionen f, g so angeben kann, dass f(a) = g(a) = 0 und

:

Grenzwertargumente sind zur Festlegung von 0⁰ also ungeeignet.

1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für 0⁰ = 1 präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass , und einen angeblichen Beweis für falls . Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel f(x) = e^-1/x und g(x) = x rasch widerlegt. In der Folge verstummte die Kontroverse und in Analysislehrbüchern verbreitete sich immer mehr die Konvention, 0⁰ undefiniert zu lassen.

Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass 0⁰ undefiniert gelassen wird. Wenn man 0⁰ = 1 nicht voraussetzen kann, verlangen viele mathematische Theoreme wie z.B. der binomische Satz

eine Sonderbehandlung für die Fälle x = 0 oder y = 0 oder gleichzeitig n = 0 und x + y = 0.

Ebenso taucht der Ausdruck 0⁰ in der Potenzreihe für die Exponentialfunktion

Die Konvention 0⁰ = 1 ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht. Da diese Konvention aber nicht allgemein akzeptiert ist, ist es zweckmäßig, explizit auf die verwendete Definition 0⁰ = 1 hinzuweisen. 0⁰ = 1 per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion x^y an der Stelle x = y = 0 stetig wäre.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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