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Normen des euklidischen Raums

Neben der euklidischen Norm

(1)

kann man allgemein die p-Norm definieren:

||x||_p = ( | x₁ | ^p + | x₂ | ^p + ... + | x_n | ^p )^1/p ,

mit .

(Die Rechtfertigung, dass es sich dabei um eine Norm handelt ist leicht zu erbringen. Man überprüfe die Definition des normierten Vektorraums. Die Dreiecksungleichung entspricht dabei der Minkowskischen Ungleichung)

Für p = 2 erhalten wir die euklidische Norm zurück. Für p = 1 erhalten wir die Betragsnorm oder Summennorm.

||x||₁ = | x₁ | + | x₂ | + ... + | x_n |

Selbst für ergibt sich eine sinnvolle Definition. Sei . Nun lässt sich (1) in der Form

schreiben. Bildet man den Grenzwert für , ergibt sich mit

die Maximumnorm.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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