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Gruppen


Nebenklassen

Wir können das Komplexprodukt auch bilden, wenn eine der beteiligten Mengen nur ein Element enthält. Man schreibt dann abkürzend \(\displaystyle aH\) für \(\displaystyle \{a\}H\) und \(\displaystyle Ha\) für \(\displaystyle H\{a\}\).

Ist \(\displaystyle H\) ein Untergruppe spricht man von Nebenklassen. Je nachdem von welcher Seite multipliziert heißt diese dann Linksnebenklasse bzw. Rechtsnebenklasse.

\(\displaystyle aH=\{a\circ h|\space h\in H\}\) Linksnebenklasse
\(\displaystyle Ha=\{h\circ a|\space h\in H\}\) Rechtsnebenklasse

Die Eigenschaften der Nebenklassen beschreibt das folgende

 
 

Lemma 5211A (Eigenschaften von Nebenklassen)

Sei \(\displaystyle H\) eine Untergruppe von \(\displaystyle G\), \(\displaystyle a,b\in G\) und \(\displaystyle e\) das neutrale Element. Dann gilt

  1. \(\displaystyle aH=bH\iff b^{-1}a\in H\iff a^{-1}b\in H\)
  2. \(\displaystyle eH=H\)
  3. \(\displaystyle a\in H\iff aH=Ha=H\)

Entsprechende Aussagen lassen sich auch für Rechtsnebenklassen formulieren.

Beweis

(iii) "\(\displaystyle \implies\)": \(\displaystyle x\in aH\) bedeutet, es gibt ein \(\displaystyle h\in H\) mit \(\displaystyle a\circ h=x\), es war jedoch \(\displaystyle a\in H\) vorausgesetzt, womit \(\displaystyle x\in H\) ist und \(\displaystyle aH\subseteq H\) bewiesen ist. Andererseits können wir mit einen \(\displaystyle x\in H\) dieses sicher als \(\displaystyle x=a\circ h\) darstellen, nämlich für \(\displaystyle h=a^{-1}\circ x\), womit die andere Inklusion gezeigt ist.

(ii) folgt aus (iii) wegen \(\displaystyle e\in H\).

(i) Die rechts stehenden Äquivalenzen gelten unabhängig von \(\displaystyle aH=bH\), denn \(\displaystyle a^{-1}\circ b\in H\iff\) \(\displaystyle \exists h\in H: h=a^{-1}\circ b\) \(\displaystyle \iff h^{-1}=b^{-1}\circ a\) \(\displaystyle \iff b^{-1}\circ a\in H\)

"\(\displaystyle \implies\)": Sei \(\displaystyle aH=bH\), dann gilt nach "(iii)\(\displaystyle \implies\)": \(\displaystyle b\in bH=aH\), damit gibt es ein \(\displaystyle h\in H\) mit \(\displaystyle b=a\circ h\), also \(\displaystyle h=a^{-1}\circ b\) womit \(\displaystyle a^{-1}\circ b\in H\) gilt.

"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle b^{-1}\circ a \in H\) und \(\displaystyle g\in aH\), dann gibt es ein \(\displaystyle h_a\in H\) mit \(\displaystyle g=a\circ h_a\). Wir wollen zeigen, dass \(\displaystyle g\in bH\) ist. Dies kann nur dann der Fall sein, wenn es ein \(\displaystyle h_b\in H\) gibt mit \(\displaystyle g=b\circ h_b\). Wir setzen \(\displaystyle h_b=b^{-1}\circ a \circ h_a\). Auf Grund der Voraussetzung gilt \(\displaystyle h_b\in H\) und \(\displaystyle g=b\circ h_b\), womit \(\displaystyle aH\subseteq bH\) gezeigt ist. Die andere Inklusion kann man analog erschließen.

(iii) "\(\displaystyle \Leftarrow\)": Ergibt sich aus (i) und (ii). \(\displaystyle \qed\)

Jetzt können wir die Nebenklassen charakterisieren:

Satz 5211B

Sei \(\displaystyle H\) eine Untergruppe von \(\displaystyle G\). Dann erzeugen die Nebenklassen eine Zerlegung von \(\displaystyle G\).

Damit sind zwei Nebenklassen entweder disjunkt oder sie sind gleich und jedes Gruppenelement kommt in einer Nebenklasse vor.

Es gilt sogar: Je zwei Nebenklassen lassen sich bijektiv aufeinander abbilden und sind daher gleichmächtig.

Beweis

Wir führen den Beweis nur für Linksnebenklassen, die Schlüsse lassen sich leicht auch auf Rechtnebenklassen übertragen.

Nach dem Lemma 5211A gilt \(\displaystyle g\in gH\), damit ist die Vereinigung aller Nebenklassen die ganze Gruppe \(\displaystyle \bigcup\limits_{g\in G}{gH}=G\).

Nehmen wir jetzt zwei beliebige Nebenklassen \(\displaystyle aH\) und \(\displaystyle bH\) für (\(\displaystyle a,b\in G\)); außerdem gelte für ein \(\displaystyle g\in G\): \(\displaystyle g\in aH\) und \(\displaystyle g\in bH\). Wir zeigen, dass dann \(\displaystyle aH=bH\) gilt.

\(\displaystyle g\in aH \iff \exists h_a\in H: a\circ h_a=g\) und analog

\(\displaystyle g\in bH \iff \exists h_b\in H: b\circ h_b=g\)

Damit gilt: \(\displaystyle a\circ h_a=b\circ h_b\) und somit auch \(\displaystyle h_a\circ h_b^{-1}=a^{-1}b\). Es waren aber \(\displaystyle h_a,h_b\in H\) womit auch \(\displaystyle a^{-1}\circ b\in H\). Mit obigen Lemma ergibt sich die Behauptung.

Um die Nebenklassen \(\displaystyle H=eH\) und \(\displaystyle aH\) bijektiv aufeinander abzubilden, definieren wir folgende Abbildung \(\displaystyle f_a: H\rightarrow aH\) mit \(\displaystyle f_a(x)=a\circ x\) für \(\displaystyle x\in G\).

\(\displaystyle f_a\) ist injektiv, denn \(\displaystyle f_a(x)=f_a(y)\) bedeutet \(\displaystyle a\circ x=a\circ y\) und nach Linksmultiplikation mit \(\displaystyle a^{-1}\) ergibt sich \(\displaystyle x=y\).

\(\displaystyle f_a\) ist surjektiv, denn wenn \(\displaystyle g\in aH\), dann gibt es ein \(\displaystyle h\in H\) mit \(\displaystyle g=a\circ h=f_a(h)\), damit ist dieses \(\displaystyle h\) genau das Urbild von \(\displaystyle g\). \(\displaystyle \qed\)

 

Für Gruppen endlicher Ordnung können wir sofort eine wichtige Folgerung aus Satz 5211B ziehen.

Alle Nebenklassen haben die gleiche Anzahl von Elementen und mit \(\displaystyle eH=H\), d.h. eine Nebenklasse ist die Untergruppe \(\displaystyle H\) selbst erhalten wir den:

Satz 5211C (Satz von Lagrange)

Die Ordnung einer Untergruppe \(\displaystyle H\) von \(\displaystyle G\) ist immer Teiler der Ordnung der Gruppe \(\displaystyle G\):

\(\displaystyle \ord(H)|\ord(G)\)
.

Die Anzahl der Nebenklassen einer Untergruppe \(\displaystyle H\) nennt man auch den Index der Untergruppe und bezeichnet ihn mit \(\displaystyle \ind(G:H)\) Mit dieser Definition formuliert sich der Satz als

\(\displaystyle \ord(G)=\ord(H)\cdot\ind(G:H)\)
.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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