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Wurzelzieher Blog

Gruppen


Nebenklassen

Wir können das Komplexprodukt auch bilden, wenn eine der beteiligten Mengen nur ein Element enthält. Man schreibt dann abkürzend aH für {a} H und Ha für H{a}.
Ist H ein Untergruppe spricht man von Nebenklassen. Je nachdem von welcher Seite multipliziert heißt diese dann Linksnebenklasse bzw. Rechtsnebenklasse.
wFormel Linksnebenklasse
wFormel Rechtsnebenklasse
Die Eigenschaften der Nebenklassen beschreibt das folgende

Lemma 5211A (Eigenschaften von Nebenklassen)

Sei H eine Untergruppe von G, wFormel und e das neutrale Element. Dann gilt
  1. wFormel
  2. eH = H
  3. wFormel
Entsprechende Aussagen lassen sich auch für Rechtsnebenklassen formulieren.

Beweis

(iii) "wFormel": wFormel bedeutet, es gibt ein wFormel mit wFormel, es war jedoch wFormel vorausgesetzt, womit wFormel ist und wFormel bewiesen ist. Andererseits können wir mit einen wFormel dieses sicher als wFormel darstellen, nämlich für wFormel, womit die andere Inklusion gezeigt ist.
(ii) folgt aus (iii) wegen wFormel.
(i) Die rechts stehenden Äquivalenzen gelten unabhängig von aH = bH, denn wFormel wFormel wFormel wFormel
"wFormel": Sei aH = bH, dann gilt nach "(iii)wFormel": wFormel, damit gibt es ein wFormel mit wFormel, also wFormel womit wFormel gilt.
"wFormel": Sei wFormel und wFormel, dann gibt es ein wFormel mit wFormel. Wir wollen zeigen, dass wFormel ist. Dies kann nur dann der Fall sein, wenn es ein wFormel gibt mit wFormel. Wir setzen wFormel. Auf Grund der Voraussetzung gilt wFormel und wFormel, womit wFormel gezeigt ist. Die andere Inklusion kann man analog erschließen.
(iii) "wFormel": Ergibt sich aus (i) und (ii). wFormel
Jetzt können wir die Nebenklassen charakterisieren:

Satz 5211B

Sei H eine Untergruppe von G. Dann erzeugen die Nebenklassen eine Zerlegung von G.
Damit sind zwei Nebenklassen entweder disjunkt oder sie sind gleich und jedes Gruppenelement kommt in einer Nebenklasse vor.
Es gilt sogar: Je zwei Nebenklassen lassen sich bijektiv aufeinander abbilden und sind daher gleichmächtig.

Beweis

Wir führen den Beweis nur für Linksnebenklassen, die Schlüsse lassen sich leicht auch auf Rechtnebenklassen übertragen.
Nach dem Lemma 5211A gilt wFormel, damit ist die Vereinigung aller Nebenklassen die ganze Gruppe wFormel.
Nehmen wir jetzt zwei beliebige Nebenklassen aH und bH für (wFormel); außerdem gelte für ein wFormel: wFormel und wFormel. Wir zeigen, dass dann aH = bH gilt.
wFormel und analog
wFormel
Damit gilt: wFormel und somit auch wFormel. Es waren aber wFormel womit auch wFormel. Mit obigen Lemma ergibt sich die Behauptung.
Um die Nebenklassen H = eH und aH bijektiv aufeinander abzubilden, definieren wir folgende Abbildung wFormel mit wFormel für wFormel.
fa ist injektiv, denn fa (x) = fa (y) bedeutet wFormel und nach Linksmultiplikation mit a-1 ergibt sich x = y.
fa ist surjektiv, denn wenn wFormel, dann gibt es ein wFormel mit wFormel, damit ist dieses h genau das Urbild von g. wFormel

 

Für Gruppen endlicher Ordnung können wir sofort eine wichtige Folgerung aus Satz 5211B ziehen.
Alle Nebenklassen haben die gleiche Anzahl von Elementen und mit eH = H, d.h. eine Nebenklasse ist die Untergruppe H selbst erhalten wir den:

Satz 5211C (Satz von Lagrange)

Die Ordnung einer Untergruppe H von G ist immer Teiler der Ordnung der Gruppe G:
ord(H) | ord(G)
.
Die Anzahl der Nebenklassen einer Untergruppe H nennt man auch den Index der Untergruppe und bezeichnet ihn mit ind(G : H) Mit dieser Definition formuliert sich der Satz als
wFormel
.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

 

 

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