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Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet.

Bezeichnungen und Konventionen für die Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, Formelzeichen

enthält je nach Definition die positiven ganzen Zahlen, also

oder die nichtnegativen ganzen Zahlen, also

Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen wurde von der französischen Mathematikergruppe Nicolas Bourbaki als N eingeführt. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, variierte man es im Tafelbild zu dem Strichbuchstaben . Im Laufe der Zeit wurde dieses gegenüber dem fett gedruckten N charakteristischere Symbol zunehmend auch im Drucksatz benutzt und hat sich mittlerweile fast völlig durchgesetzt, so dass heute einheitlich das Symbol für die natürlichen Zahlen verwendet wird. Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen Doppelstrich-Symbolen wie beispielsweise und statt.

Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen.

In Texten, in denen das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null verwendet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol oder für die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null benutzt.

Falls jedoch das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, wird meist , , , oder für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 geschrieben.

Einführung der natürlichen Zahlen nach Russell (historisch)

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz von Bertrand Russell ist aus heutiger Sicht als Definition der natürlichen Zahlen aufgrund von mengentheoretischen Schwierigkeiten unbrauchbar. Beispielsweise ist die unten definierte natürliche Zahl 1 keine Menge, sondern eine echte Klasse; infolgedessen ist es unmöglich, über die Gesamtheit der so definierten natürlichen Zahlen zu sprechen, da echte Klassen selbst weder Elemente von Mengen noch von Klassen sein können.

Die natürlichen Zahlen können jeweils als Gesamtheit der Objekte der jeweiligen Kardinalität definiert werden. So definiert Russell zunächst:

• Eine Menge wird einer anderen Menge äquivalent genannt, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, deren Bereich aus der einen Menge besteht, während die andere Menge den inversen Bereich bildet.

Es gelten für diesen Äquivalenzbegriff die Äquivalenzeigenschaften, so dass die auf diese Weise entstehenden Äquivalenzklassen als Repräsentanten für die natürlichen Zahlen dienen können:

• Die Zahl einer Menge ist die Menge aller ihr äquivalenten Mengen.

Mit diesem Zahlbegriff sind sogar beliebige Kardinalitäten von Mengen beschrieben. (Heute nennt man diese Zahlen Kardinalzahlen.)

Für die natürlichen Zahlen müssen wir uns auf die endlichen Mengen beschränken.

Die endlichen Mengen fasst Russell schrittweise zusammen:

• Die Zahl 0 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. (Man bedenke: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen vorkommt und umgekehrt. Daher gibt es nur eine einzige leere Menge.)

Russell definiert jetzt Nachfolger und Vorgänger von Zahlen:

• Sei A eine Menge und x ein Element, das in A nicht vorkommt. Der Nachfolger der Zahl der Elemente von A ist die Zahl der Elemente von .
• Sei A eine nichtleere Menge und x ein Element von A, dann heißt die Zahl der Elemente von der Vorgänger von der Zahl von A.

Damit hat Russell jetzt das notwendige Handwerkszeug zusammen und kann definieren, was die endlichen Zahlen sind:

• a) 0 ist endlich.
• b) Eine Zahl ungleich 0 ist endlich, wenn sie einen Vorgänger hat, der endlich ist.

(Diese Definition endlicher Mengen ist aus heutiger Sicht nicht haltbar, da ihre Präzisierung entweder den Begriff der natürlichen Zahl verwenden oder eine mengentheoretisch unzulässige Konstruktion verwenden muss. Dies ließe sich jedoch durch Verwendung des Begriffes der Dedekind-Endlichkeit umgehen.)

Schließlich legt Russell fest:

• Eine natürliche Zahl ist etwas, was Zahl einer endlichen Menge ist.

Russell erwähnt, dass er in seiner Begriffsbildung Gedanken von Gottlob Frege benutzt hat.

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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