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Näherungsverfahren

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren (Bisektionsverfahren und Beispiel 164X).

Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion

annähert:

1. Wähle einen (möglichst guten) Startwert y > 0
2. Iteriere nach der Vorschrift

Für n = 2 erhält man gerade das Heronverfahren.

Beispiel für eine Näherung für nach dem obigen Iterationsverfahren:

Die Iterationsvorschrift lautet mit x = 2 und n = 3

.

Mit dem Startwert y = 2 erhält man:

Abschätzung einer Wurzel

Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung berechnen. Das lässt sich gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet:

|

Beispiele:

• Die dritte Wurzel von 103.823: Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
• Die dritte Wurzel von 12.167: Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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