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Formelsammlung Mathe |
Inhalt
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Grundlagen der Mathematik
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Bezeichnungen- Elementarmathematik- Logik- Aussagenlogik- Prädikatenlogik
Formale Theorien- Modelltheorie Löwenheim-Skolem-Theorem Gödelscher 
Vollständigkeitssatz Ableitung Gödelscher Unvollständigkeitssatz- Mengenlehre- Zahlenbereiche- Diskrete Mathematik- Algebra- Lineare Algebra- Geometrie- Analysis- Differentialgleichungen- Funktionalanalysis- Differentialgeometrie- Topologie- Numerik- Stochastik- Unsortiertes- Anbieterkennzeichnung
Modelltheorie
Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Logik (syntaktische Ebene) und deren Bedeutung (semantische Ebene). Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Wichtige Bereiche der Modelltheorie betreffen die Zuordnung von Wahrheitswerten zu formalen Sätzen und die Beziehung formal-logischer Systeme zur natürlichen Sprache.
Die Bedeutung der Modelltheorie für die Mathematik liegt vor allem darin, dass aus der Existenz eines Modells für ein Axiomensystem die Widerspruchsfreiheit dieses Axiomensystems folgt. Dieses Argument wird vor allem angewendet, um die Widerspruchsfreiheit der Axiome der Mengenlehre mit gewissen Zusatzannahmen zu zeigen.
Typische Fragen in der Modelltheorie sind, zu welchen Kardinalitäten sich für ein gegebenes Axiomensystem Modelle schaffen lassen. So ist diese Frage für die Körperaxiome vollständig geklärt: Primzahlen und Primzahlpotenzen sind die alleinigen Kardinalitäten endlicher Modelle. Diese Menge natürlicher Zahlen heißt dann Spektrum der Körperaxiome.
Offen ist die Frage, ob das Komplement eines Spektrums stets wieder ein Spektrum ist: Gesucht ist also eine Axiomenmenge dergestalt, dass alle endlichen Modelle eine Kardinalität im Komplement des Spektrums darstellen. Interessanterweise hängt diese Frage mit der NP=Co-NP-Frage aus der Komplexitätstheorie zusammen.
Endliche Modelltheorie
Die Endliche Modelltheorie ist ein Teilbereich der Modelltheorie, der auf die Eigenschaften logischer Sprachen (wie etwa der Prädikatenlogik), sowie auf endliche Strukturen wie etwa endliche Gruppen, Graphen und die meisten Maschinenmodelle fokussiert ist. Ein Schwerpunkt liegt dabei insbesondere in den Beziehungen zwischen logischen Sprachen und der Berechenbarkeitstheorie. Weiterhin bestehen enge Bezüge zur diskreten Mathematik, der Komplexitätstheorie und der Theorie der Datenbanken.
Siehe auch
In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.
K. Urbanik
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