Minimalpolynom

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Sei L/K eine Körpererweiterung und x ein Element von L. Ein Minimalpolynom m = minpol_K (x) von x über K ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, das x als Nullstelle hat.

Falls ein Minimalpolynom von x existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element x heißt algebraisches Element der Erweiterung L/K oder algebraisch über K. Dies erlaubt es, von dem Minimalpolynom zu sprechen.

Falls kein Minimalpolynom von x existiert, dann heißt x transzendent über K.

Beispiel

Betrachte die Körpererweiterung mit der imaginären Einheit i. Das Minimalpolynom von i ist x² + 1, denn es hat i als Nullstelle, ist normiert und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in .

Das Polynom x³ + x ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als darstellen lässt, und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Eigenschaften

Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.

Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element x als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von x.

Der Grad des Minimalpolynoms von x ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung K(x)/K.

Siehe auch: Zerfällungskörper

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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