Metrische Räume

Sei \(\displaystyle M\) eine Menge, dann heißt eine Abbildung \(\displaystyle d: M\cross M \rightarrow \dom R\) Metrik genau dann, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. \(\displaystyle d(x,y)=0 \, \iff \, x=y\)
  2. \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\) für alle \(\displaystyle x,y\in M\)
  3. \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\) für alle \(\displaystyle x,y,z\in M\)

\(\displaystyle M\) versehen mit einer Metrik wird metrischer Raum genannt und mit \(\displaystyle (M,d)\) bezeichnet. Die Funktion \(\displaystyle d\) ist eine Abstandsfunktion. Für zwei Elemente aus \(\displaystyle M\), die auch Punkte genannt werden, spricht man dann auch von ihrem Abstand bezüglich der Metrik \(\displaystyle d\).

Die Bedingung (iii) ist aus der Elementargeometrie als Dreiecksungleichung bekannt und entspricht der anschaulichen Vorstellung, dass ein Umweg niemals kürzer ist als der direkte Weg.

 
 

Bemerkung

Aus der obigen Definition kann man sofort folgern, dass

\(\displaystyle d(x,y)\geq 0\)
für alle Punkte eines (halb)metrischen Raums gilt. Es gilt nämlich: \(\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)\).

Satz 5608A (Vierecksungleichung)

In einem (halb)metrischen Raum \(\displaystyle M\) gilt für alle \(\displaystyle x,y,u,v\in M\):

\(\displaystyle |d(x,y)-d(u,v)|\leq d(x,u)+d(y,v)\)

Beweis

Es gilt: \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)\) und damit \(\displaystyle d(x,y)-d(u,v)\leq d(x,u)+d(v,y)\). Andererseits gilt \(\displaystyle d(u,v)\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)\) und damit \(\displaystyle d(u,v)-d(x,y)\leq d(u,x)+d(y,v)\). Aus beiden Ungleichungen ergibt sich die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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