Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

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- Differentialgeometrie

- Topologie

   - Metrische Räume

       Halbmetrische Räume

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      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

      - Folgen und Konvergenz

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      - Kompaktheit

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- Stochastik

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Metrische Räume

Sei M eine Menge, dann heißt eine Abbildung Metrik genau dann, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. 
2. d(x, y) = d(y, x) für alle
3. für alle

M versehen mit einer Metrik wird metrischer Raum genannt und mit (M, d) bezeichnet. Die Funktion d ist eine Abstandsfunktion. Für zwei Elemente aus M, die auch Punkte genannt werden, spricht man dann auch von ihrem Abstand bezüglich der Metrik d.

Die Bedingung (iii) ist aus der Elementargeometrie als Dreiecksungleichung bekannt und entspricht der anschaulichen Vorstellung, dass ein Umweg niemals kürzer ist als der direkte Weg.

Bemerkung

Aus der obigen Definition kann man sofort folgern, dass

Satz 5608A (Vierecksungleichung)

In einem (halb)metrischen Raum M gilt für alle :

Beweis

Es gilt: und damit . Andererseits gilt und damit . Aus beiden Ungleichungen ergibt sich die Behauptung.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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