Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

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   - Reelle Zahlen

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   - Funktionentheorie

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             Äußeres Maß

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Maße

Sei und ist eine -Algebra über .

Das Tupel heißt messbarer Raum oder auch Messraum.

Eine nichtnegative Funktion heißt Maß auf , wenn gilt

1. 
2. Für paarweise disjunkte Mengen aus gilt:
      (-Additivität)

Das Tripel heißt Maßraum. Ein Maß heißt endlich, wenn es nur endliche Werte annimmt.

Beispiele

: für alle heißt Nullmaß.

Dirac-Maß: Sei . Setzen

Sei abzählbar und . Dann ist das Zählmaß die Anzahl der Teilmengen A aus .

Satz

Sei eine abzählbare Familie von Maßen auf dem Messraum und eine Familie nichtnegativer reller Zahlen. Durch

   

ist ein Maß auf definiert.

Beweis

Die Funktion ist nichtnegativ, da alle sowie die nichtnegativ sind. Die Summenbildung ändert nichts.

, da für alle .

Seien paarweise disjunkt aus .

.

Satz 16KZ (Eigenschaften des Maßes)

Sei ein Maßraum und . Dann gilt:

1. 
2. 
3. und endlich

Beweis

(ii): . Also . Es ist , also .

(iii): Falls endlich ist, können wir das Ergebnis aus (ii) umstellen: .

(i): .

Es ist: und nach (ii) gilt daher .

Satz 16L0 (Stetigkeit des Maßes)

Seien ein endliches Maß () und Mengen aus . Dann gelten:

1. Stetigkeit von unten
   Ist , so gilt:
2. Stetigkeit von oben
   Ist , so gilt:

Beweis

(i): Wir setzen B₁ := A₁ , . Damit gilt: alle B_k sind paarweise disjunkt und , sowie und .

Somit folgt: .

(ii): . Nach (i) gilt nun: .

.

.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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