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Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme

In Satz 16C5 wurde die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems charakterisiert, dabei wurde keine Aussage über die Lösungsmenge getroffen. Dies erledigt

Satz 16C7 (Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems)

Sei Ax = b ein lösbares lineares Gleichungssystem mit . Ferner sei , die zu A gehörige Standardabbildung. Ist x₀ eine spezielle Lösung (Ax₀ = b), dann gilt für jede Lösung v = x₀ + w, wobei . Die Lösungsmenge schreibt man als

.

Sie ist im allgemeinen kein linearer Teilraum von Kⁿ .

Insbesondere gilt: Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn gilt und das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nur die triviale Lösung x = 0 hat.

Beweis

Ist Lösung von Ax = b, so gilt A(x₁ - x₀ ) = Ax₁ - Ax₀ = b - b = 0, also .

Sei , dann gibt es ein mit x₁ = x₀ + w. Es gilt: Ax₁ = A(x₀ + w) = Ax₀ + Aw = b + 0 = b, also ist x₁ Lösung des linearen Gleichungssystems.

Satz 16C9 (Elementare Zeilenumformungen und Lösungsmenge)

Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht.

Genauer: Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit . Kann die Matrix (A | b) durch elementare Zeilenumformungen in die Matrix (A' | b') überführt werden, so besitzen die linearen Gleichungssysteme Ax = b und A'x = b' dieselbe Lösungsmenge.

Beweis

Betrachtet man die Struktur der elementaren Zeilenumformungen Z1 bis Z4, so sieht man, dass diese die Lösungsstruktur von Ax = b nicht ändern. Alle Lösungen von Ax = b sind auch Lösungen von A'x = b'. Weil man nun diese Umformungen ebenso wieder rückgängig machen kann, sind die Lösungen von A'x = b' auch Lösungen von Ax = b

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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