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Lineare Algebra


Lösbarkeitskriterien linearer Gleichungssysteme

Bei der Beurteilung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen spielt der Rang zugeordneter Matrizen eine entscheidende Rolle.

Ist \(\pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}\\ \vdots && \vdots\\ a_{m1} &\cdots& a_{mn} }=A\in\Mat(m\cross n,K)\) und \(b=\pmatrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}\), so bezeichnet man mit \((A|b)\in\Mat(m\cross n+1,K)\) die Matrix \(\pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}&b_1\\ \vdots && \vdots&\vdots \\ a_{m1} &\cdots& a_{mn}&b_m }\).

 
 

Satz 16C5 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme)

Sei \(Ax=b\) ein lineares Gleichungssystem mit \(A\in\Mat(m\cross n,K)\). Ferner sei \(f:K^n\to K^m\), \(x\mapto Ax\) die zu \(A\) gehörige Standardabbildung.

Dann gilt:

Lösbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(Ax=b\) ist lösbar
  2. \(\rang A=\rang (A|b)\)
  3. \(b\in\Image f\)

Universelle Lösbarkeit

Universelle Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem für jedes \(b\in K^m\) lösbar ist.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(Ax=b\) ist universell lösbar
  2. \(\rang A=m\)
  3. \(f\) ist surjektiv

Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem \(Ax=b\) genau eine Lösung besitzt.

Das lineare Gleichungssystem \(Ax=b\) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn \(\rang A=\rang(A|b)=n\) gilt.

Unter Vorraussetzung der Lösbarkeit von \(Ax=b\) sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(Ax=b\) ist eindeutig lösbar
  2. \(\rang A=n\)
  3. \(f\) ist injektiv
  4. \(\Ker f=0\)

Beweis

Lösbarkeit

(i) \(\iff\) (iii) ist lediglich eine Umformulierung.

(ii) \(\iff\) (iii) ergibt sich aus \(\dim\Image f=\rang A\) und weil \(\Image f\) von den Spalten von \(A\) erzeugt wird (vgl. Bemerkung 16B7 und Satz 16B8)

Universelle Lösbarkeit

(ii) \(\iff\) (iii) \(f\) surjektiv \(\iff\Image f=K^m\) \(\iff \dim\Image f=\rang A=m\) (Satz 15XH und Satz 16B8)

(i) \(\iff\) (ii) \(f\) ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem \(b\in K^m\) ein Urbild \(x\in K^n\) mit \(f(x)=b\) gibt. Da \(f\) die Standardabbildung für \(A\) ist, bedeutet dies aber gerade, dass das Gleichungssystem \(Ax=b\) universell lösbar ist.

Eindeutige Lösbarkeit

(iii) \(\iff\) (iv): siehe Satz 15XH

(i) \(\implies\) (iv): Sei \(Ax=b\) eindeutig lösbar und \(z\in\Ker f\), also gilt: \(A(x+z)=Ax+Az=b+0=b\). Damit ist \(z=0\), wegen der eindeutigen Lösbarkeit von \(Ax=b\) und \(\Ker f=0\).

(iii) \(\implies\) (i): Aus der Injektivität von \(f\) folgt mit der Existenz einer Lösung sofort ihre Eindeutigkeit.

(iv) \(\iff\) (ii): Nach der Dimensionsformel und Satz 16B8 gilt: \(n=\dim\Ker f+\rang A=\rang A\), wegen \(\Ker f=0\).

Bleibt der erste Teil zu zeigen. Wir haben soeben erledigt, dass aus der eindeutigen Lösbarkeit \(\rang A=n\) folgt.

Bleibt zu zeigen, dass aus \(\rang A=\rang(A|b)=n\) die eindeutige Lösbarkeit folgt. Aus \(\rang A=\rang(A|b)\) folgt die Existenz einer Lösung. Aus \(\rang A=n\) folgt dann mit dem gerade Gezeigten, dass die Lösung eindeutig ist. \(\qed\)

 

Tabelle zur Lösbarkeit

Lineares Gleichungssystem \(Ax=b\) mit \(A\in\Mat(m\cross n,K)\) und wir identifizieren \(A\) mit ihrer Standardabbildung.

lösbar universell lösbar eindeutig lösbar (falls Lösung existiert)
\(\rang A=\rang (A|b)\) \(\rang A=m\) \(\rang A=n\)
\(A\) surjektiv \(A\) injektiv
\(b\in\Image A\) \(\Image A=K^m\) \(\Ker A=0\)

Folgerung 16C6

Im Falle eine quadratischen Matrix \(A\in\Mat(n\cross n,K)\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. \(Ax=b\) ist eindeutig lösbar
  2. \(\rang A=n\)
  3. \(Ax=b\) ist für alle \(b\in K^n\) eindeutig lösbar
  4. \(Ax=0\) besitzt nur die triviale Lösung \(x=0\)
  5. \(A\) ist invertierbar

Im Fall \(Ax=b\) ist dann \(x=A^\me b\) die Lösung.

Beweis

(i) \(\iff\) (ii): nach Satz 16C5 (eindeutige Lösbarkeit).

(ii) \(\iff\) (iii): nach Satz 16C5 (eindeutige und universelle Lösbarkeit).

(iii) \(\iff\) (iv): Man setze \(b=0\).

(ii) \(\iff\) (v): nach Satz 16B9.

\(Ax=b\) \(\implies A^\me Ax=x=A^\me b\). \(\qed\)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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