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Lineare Algebra


Lösbarkeitskriterien linearer Gleichungssysteme

Bei der Beurteilung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen spielt der Rang zugeordneter Matrizen eine entscheidende Rolle.
Ist wFormel und wFormel, so bezeichnet man mit wFormel die Matrix wFormel.

Satz 16C5 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme)

Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit wFormel. Ferner sei wFormel, wFormel die zu A gehörige Standardabbildung.
Dann gilt:

Lösbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist lösbar
  2. rang A = rang(A | b)
  3. wFormel

Universelle Lösbarkeit

Universelle Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem für jedes wFormel lösbar ist.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist universell lösbar
  2. rang A = m
  3. f ist surjektiv

Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem Ax = b genau eine Lösung besitzt.
Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang A = rang(A | b) = n gilt.
Unter Vorraussetzung der Lösbarkeit von Ax = b sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar
  2. rang A = n
  3. f ist injektiv
  4. wFormel

Beweis

Lösbarkeit

(i) wFormel (iii) ist lediglich eine Umformulierung.
(ii) wFormel (iii) ergibt sich aus wFormel und weil wFormel von den Spalten von A erzeugt wird (vgl. Bemerkung 16B7 und Satz 16B8)

Universelle Lösbarkeit

(ii) wFormel (iii) f surjektiv wFormel wFormel (Satz 15XH und Satz 16B8)
(i) wFormel (ii) f ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem wFormel ein Urbild wFormel mit f(x) = b gibt. Da f die Standardabbildung für A ist, bedeutet dies aber gerade, dass das Gleichungssystem Ax = b universell lösbar ist.

Eindeutige Lösbarkeit

(iii) wFormel (iv): siehe Satz 15XH
(i) wFormel (iv): Sei Ax = b eindeutig lösbar und wFormel, also gilt: A(x + z) = Ax + Az = b + 0 = b. Damit ist z = 0, wegen der eindeutigen Lösbarkeit von Ax = b und wFormel.
(iii) wFormel (i): Aus der Injektivität von f folgt mit der Existenz einer Lösung sofort ihre Eindeutigkeit.
(iv) wFormel (ii): Nach der Dimensionsformel und Satz 16B8 gilt: wFormel, wegen wFormel.
Bleibt der erste Teil zu zeigen. Wir haben soeben erledigt, dass aus der eindeutigen Lösbarkeit rang A = n folgt.
Bleibt zu zeigen, dass aus rang A = rang(A | b) = n die eindeutige Lösbarkeit folgt. Aus rang A = rang(A | b) folgt die Existenz einer Lösung. Aus rang A = n folgt dann mit dem gerade Gezeigten, dass die Lösung eindeutig ist. wFormel

 

Tabelle zur Lösbarkeit

Lineares Gleichungssystem Ax = b mit wFormel und wir identifizieren A mit ihrer Standardabbildung.
lösbar universell lösbar eindeutig lösbar (falls Lösung existiert)
rang A = rang(A | b) rang A = m rang A = n
A surjektiv A injektiv
wFormel wFormel wFormel

Folgerung 16C6

Im Falle eine quadratischen Matrix wFormel sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  1. Ax = b ist eindeutig lösbar
  2. rang A = n
  3. Ax = b ist für alle wFormel eindeutig lösbar
  4. Ax = 0 besitzt nur die triviale Lösung x = 0
  5. A ist invertierbar
Im Fall Ax = b ist dann x = A-1 b die Lösung.

Beweis

(i) wFormel (ii): nach Satz 16C5 (eindeutige Lösbarkeit).
(ii) wFormel (iii): nach Satz 16C5 (eindeutige und universelle Lösbarkeit).
(iii) wFormel (iv): Man setze b = 0.
(ii) wFormel (v): nach Satz 16B9.
Ax = b wFormel. wFormel

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

 

 

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