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Lineare Algebra


Lösbarkeitskriterien linearer Gleichungssysteme

Bei der Beurteilung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen spielt der Rang zugeordneter Matrizen eine entscheidende Rolle.

Ist \(\displaystyle \pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}\\ \vdots && \vdots\\ a_{m1} &\cdots& a_{mn} }=A\in\Mat(m\cross n,K)\) und \(\displaystyle b=\pmatrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}\), so bezeichnet man mit \(\displaystyle (A|b)\in\Mat(m\cross n+1,K)\) die Matrix \(\displaystyle \pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}&b_1\\ \vdots && \vdots&\vdots \\ a_{m1} &\cdots& a_{mn}&b_m }\).

 
 

Satz 16C5 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme)

Sei \(\displaystyle Ax=b\) ein lineares Gleichungssystem mit \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\). Ferner sei \(\displaystyle f:K^n\to K^m\), \(\displaystyle x\mapto Ax\) die zu \(\displaystyle A\) gehörige Standardabbildung.

Dann gilt:

Lösbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) ist lösbar
  2. \(\displaystyle \rang A=\rang (A|b)\)
  3. \(\displaystyle b\in\Image f\)

Universelle Lösbarkeit

Universelle Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem für jedes \(\displaystyle b\in K^m\) lösbar ist.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) ist universell lösbar
  2. \(\displaystyle \rang A=m\)
  3. \(\displaystyle f\) ist surjektiv

Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) genau eine Lösung besitzt.

Das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn \(\displaystyle \rang A=\rang(A|b)=n\) gilt.

Unter Vorraussetzung der Lösbarkeit von \(\displaystyle Ax=b\) sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Das lineare Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) ist eindeutig lösbar
  2. \(\displaystyle \rang A=n\)
  3. \(\displaystyle f\) ist injektiv
  4. \(\displaystyle \Ker f=0\)

Beweis

Lösbarkeit

(i) \(\displaystyle \iff\) (iii) ist lediglich eine Umformulierung.

(ii) \(\displaystyle \iff\) (iii) ergibt sich aus \(\displaystyle \dim\Image f=\rang A\) und weil \(\displaystyle \Image f\) von den Spalten von \(\displaystyle A\) erzeugt wird (vgl. Bemerkung 16B7 und Satz 16B8)

Universelle Lösbarkeit

(ii) \(\displaystyle \iff\) (iii) \(\displaystyle f\) surjektiv \(\displaystyle \iff\Image f=K^m\) \(\displaystyle \iff \dim\Image f=\rang A=m\) (Satz 15XH und Satz 16B8)

(i) \(\displaystyle \iff\) (ii) \(\displaystyle f\) ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem \(\displaystyle b\in K^m\) ein Urbild \(\displaystyle x\in K^n\) mit \(\displaystyle f(x)=b\) gibt. Da \(\displaystyle f\) die Standardabbildung für \(\displaystyle A\) ist, bedeutet dies aber gerade, dass das Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) universell lösbar ist.

Eindeutige Lösbarkeit

(iii) \(\displaystyle \iff\) (iv): siehe Satz 15XH

(i) \(\displaystyle \implies\) (iv): Sei \(\displaystyle Ax=b\) eindeutig lösbar und \(\displaystyle z\in\Ker f\), also gilt: \(\displaystyle A(x+z)=Ax+Az=b+0=b\). Damit ist \(\displaystyle z=0\), wegen der eindeutigen Lösbarkeit von \(\displaystyle Ax=b\) und \(\displaystyle \Ker f=0\).

(iii) \(\displaystyle \implies\) (i): Aus der Injektivität von \(\displaystyle f\) folgt mit der Existenz einer Lösung sofort ihre Eindeutigkeit.

(iv) \(\displaystyle \iff\) (ii): Nach der Dimensionsformel und Satz 16B8 gilt: \(\displaystyle n=\dim\Ker f+\rang A=\rang A\), wegen \(\displaystyle \Ker f=0\).

Bleibt der erste Teil zu zeigen. Wir haben soeben erledigt, dass aus der eindeutigen Lösbarkeit \(\displaystyle \rang A=n\) folgt.

Bleibt zu zeigen, dass aus \(\displaystyle \rang A=\rang(A|b)=n\) die eindeutige Lösbarkeit folgt. Aus \(\displaystyle \rang A=\rang(A|b)\) folgt die Existenz einer Lösung. Aus \(\displaystyle \rang A=n\) folgt dann mit dem gerade Gezeigten, dass die Lösung eindeutig ist. \(\displaystyle \qed\)

 

Tabelle zur Lösbarkeit

Lineares Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) mit \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) und wir identifizieren \(\displaystyle A\) mit ihrer Standardabbildung.

lösbar universell lösbar eindeutig lösbar (falls Lösung existiert)
\(\displaystyle \rang A=\rang (A|b)\) \(\displaystyle \rang A=m\) \(\displaystyle \rang A=n\)
\(\displaystyle A\) surjektiv \(\displaystyle A\) injektiv
\(\displaystyle b\in\Image A\) \(\displaystyle \Image A=K^m\) \(\displaystyle \Ker A=0\)

Folgerung 16C6

Im Falle eine quadratischen Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(n\cross n,K)\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. \(\displaystyle Ax=b\) ist eindeutig lösbar
  2. \(\displaystyle \rang A=n\)
  3. \(\displaystyle Ax=b\) ist für alle \(\displaystyle b\in K^n\) eindeutig lösbar
  4. \(\displaystyle Ax=0\) besitzt nur die triviale Lösung \(\displaystyle x=0\)
  5. \(\displaystyle A\) ist invertierbar

Im Fall \(\displaystyle Ax=b\) ist dann \(\displaystyle x=A^\me b\) die Lösung.

Beweis

(i) \(\displaystyle \iff\) (ii): nach Satz 16C5 (eindeutige Lösbarkeit).

(ii) \(\displaystyle \iff\) (iii): nach Satz 16C5 (eindeutige und universelle Lösbarkeit).

(iii) \(\displaystyle \iff\) (iv): Man setze \(\displaystyle b=0\).

(ii) \(\displaystyle \iff\) (v): nach Satz 16B9.

\(\displaystyle Ax=b\) \(\displaystyle \implies A^\me Ax=x=A^\me b\). \(\displaystyle \qed\)

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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