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Grundlagen der Mathematik

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Lineare Operatoren zwischen normierten Räumen

Seien E, F normierte Räume. Eine lineare Abbildung (linearer Operator) heißt beschränkt, genau dann wenn:

Für lineare Operatoren sind stetig und beschränkt äquivalente Begriffe:

Satz 16KE

Sei ein linearer Operator zwischen den normierten Räumen E und F. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

A ist stetig
A ist in x₀ stetig
A ist beschränkt

Beweis

(ii) (i): Sei A in x₀ stetig, also

Sei beliebig und x so gewählt, dass . Dann gilt ||Ax - Ax₁ ||. Damit ist A auch in x₁ stetig.

(iii) (ii): A beschränkt bedeutet nichts anderes, als das A in 0 stetig ist (also überall nach dem gerade Bewiesen).

(i) (iii): A sei stetig, also auch in 0 stetig. Dann gibt es für ein , so dass . Sei beliebig und Dann gilt , also ||Ax₀ || < 1 und es folgt: .

Vektorraum der beschränkten linearen Operatoren

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren beschränkt } ist ein Vektorraum. Durch wird auf eine Norm (Operatornorm) erklärt und ist ein normierter Raum.

Ferner gilt: . Denn für : und .

Bei der Komposition (Hintereinanderausführung) von Operatoren und ist und es gilt .

Satz 16KF

Seien E und F normierte Räume und E endlichdimensional (). Dann ist jede lineare Abbildung stetig und beschränkt.

Beweis

Wir zeigen, dass eine beliebige lineare Abbildung A beschränkt ist, nach Satz 16KE ist sie dann auch stetig.

Sei n := dim E und eine Basis von E . Dann gilt für alle : mit .

ist nach Satz 16KB eine zu äquivalente Norm. Somit beschränkt, d.h. A ist stetig.

Satz 16KG

Sei E ein normierter Raum und F ein Banachraum. Dann ist der Raum der beschränkten linearen Operatoren bezüglich der Operatornorm ein Banachraum.

Beweisskizze

Die Cauchyfolge (A_n ) konvergiert punktweise gegen Ax und aus der Cauchy-Bedingung kann man für die Operatornorm die Konvergenzbedingung ableiten und so zeigen, dass bzgl. der Operatornorm.

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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