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Elementare Zahlentheorie


Lineare Diophantische Gleichung

Eine lineare diophantische Gleichung ist eine diophantische Gleichung der Form

\(\displaystyle a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3} x_{3} +\ldots\) \(\displaystyle + a_{n}x_{n} + c = 0\)
mit ganzzahligen Koeffizienten \(\displaystyle a_{i}\), bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Linear bedeutet, dass die Variablen \(\displaystyle x_{i}\) nicht in Potenzen auftreten. (Im Gegensatz zur allgemeinen diophantischen Gleichung.)

 
 

Auflösung von Gleichungen mit zwei Variablen

Die lineare diophantische Gleichung

(1)
\(\displaystyle ax + by = c \)

mit vorgegebenen ganzen Zahlen \(\displaystyle a,b,c\) hat genau dann ganzzahlige Lösungen in \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\), wenn \(\displaystyle c\) durch den größten gemeinsamen Teiler \(\displaystyle g\) von \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) teilbar ist. (Die linke Seite ist durch \(\displaystyle g\) teilbar, also muss auch \(\displaystyle c\) durch \(\displaystyle g\) teilbar sein.) Wir nehmen dies im folgenden an.

Wie bei jeder linearen Gleichung ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

\(\displaystyle ax + by=0\, \, \)

Bestimmt man also eine Lösung der ursprünglichen, inhomogenen Gleichung (1) (man spricht dann von einer "Partikularlösung"), so erhält man durch Addition von Lösungen der homogenen Gleichung sämtliche anderen Lösungen der inhomogenen Gleichung (1).

Lösungen der homogenen Gleichung

Schreibt man \(\displaystyle a=ga'\) und \(\displaystyle b=gb'\) mit \(\displaystyle g=\ggT(a,b)\), so ist die homogene Gleichung äquivalent zu

\(\displaystyle a'x = -b'y,\)

und da \(\displaystyle a'\) und \(\displaystyle b'\) teilerfremd sind, ist \(\displaystyle x\) durch \(\displaystyle b'\) und \(\displaystyle y\) durch \(\displaystyle a'\) teilbar. Sämtliche Lösungen der homogenen Gleichung sind also durch

\(\displaystyle x=tb',\quad y=-ta'\)

für eine beliebige ganze Zahl \(\displaystyle t\) gegeben.

Auffinden einer Partikularlösung

Mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus kann man Zahlen \(\displaystyle u,v\) bestimmen, so dass

\(\displaystyle au+bv=g\) mit \(\displaystyle g=\ggT(a,b)\)

gilt. Setzt man \(\displaystyle s=c/g,\) so ist

\(\displaystyle x_0=su,\quad y_0=sv\)

eine Lösung der Gleichung (1).

Gesamtheit der Lösungen

Die Gesamtheit der Lösungen von (1) ist gegeben durch

\(\displaystyle x=x_0+tb',\quad y=y_0-ta'\)

für beliebige ganze Zahlen \(\displaystyle t\).

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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