Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

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Laguerre-Polynome

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Laguerre-Polynome (nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der Laguerreschen Differentialgleichung

x y''(x) + (1 - x) y'(x) + ny(x) = 0 n = 0, 1, ...

Das n-te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrieguez-Formel

darstellen. Es handelt sich dabei um eine Polynom vom Grade n. Über die ersten Laguerre-Polynome

L₀ (x) = 1

L₁ (x) = - x + 1

lassen sich die Weiteren über folgende Rekursionsformeln berechnen:

(n + 1) L_{n + 1} (x) = (2 n + 1 - x) L_n (x) - n L_n-1

x L_n '(x) = n L_n (x) - n L_n-1 (x)

Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten-Laguerre Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

zusammen. Ihre Rodriguez-Formel lautet

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerregleichung

z y''(x) + (k + 1 - x) y'(x) + (p - k) y(x) = 0,

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten

L^k₀ (x) = 1

L^k₁ (x) = - x + k + 1

Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom, bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Verwendet man die leicht abgewandelten Definitionen

so lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion als

schreiben (Normierungskonstante D_nl , charakteristische Länge , Hauptquantenzahl n, Bahndrehimpulsquantenzahl l). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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