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Kugelkoordinaten

In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt eindeutig zu bezeichnen, und spricht dann von sphärischen Koordinaten. Der Begriff Kugelkoordinaten kann als Oberbegriff für diese beiden Fälle angesehen werden.

Für Polarkoordinaten in der Ebene (ein Abstand, ein Winkel) und Zylinderkoordinaten (zwei Abstände, ein Winkel) siehe den Artikel Polarkoordinaten.

Übliche Konvention

Kugelkoordinaten: die x-Achse zeigt in 0°-, die y-Achse in 90°-Richtung, die z-Achse steht im rechten Winkel zu den beiden anderen Achsen

Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z) und den Kugelkoordinaten :

Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten

;

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten (im allg. alle Winkel) stets im Bogenmaß angegeben; deshalb steht in der Fallunterscheidung für nicht 360°, sondern 2.

Um die anschauliche Bedeutung der Kugelkoordinaten verbal zu erklären, sei r der Ortsvektor von P (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und r_xy die Projektion von r in die x-y-Ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung:

r (Radius) ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors r;

(Polarwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und r, gezählt von 0 bis

(0° bis 180°), und

(Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und r_xy , gezählt von 0 bis 2

(0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn.

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen

und

In sphärischen Koordinaten wird r durch 1 ersetzt und nicht als eigenständige Koordinate aufgeführt.

Andere Konventionen

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen und gerade im umgekehrten Sinne verwandt, insbesondere in amerikanischer Literatur. Man sollte daher stets darauf achten, welchen Konventionen ein Autor folgt.

Der Polarwinkel ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen -90° und 90° an. Wird sie mit bezeichnet, so ist = 90° - = 90° - . Hingegen kann man ohne weiteres mit der geographischen Länge östlich von Greenwich gleichsetzen.

Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

und

zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht der geographischen Breite.

Transformation von Differentialen

Jacobi-Matrix

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

Bei sphärischen Polarkoordinaten (nur ) fällt die erste Spalte weg.

Die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation ist nur für räumliche, nicht für sphärische Polarkoordinaten definiert; man berechnet sie am einfachsten als Inverse von J:

Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei r=0 und bei sin =0 (also =0 oder ) erkennt. Ungebräuchlicher ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

Differentiale, Volumenelement, Linienelement

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

beziehungsweise

Das Volumenelement lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

umrechnen:

Durch Differentiation dV/dr erhält man für ein Flächenelement dA auf einer Sphäre mit Radius r

Ein Linienelement ds rechnet man gemäß

um.

Metrik und Rotationsmatrix

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement ds spiegelt sich wieder, dass der metrische Tensor

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als J=Sh schreiben, wobei S die Rotationsmatrix

ist.

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren

Im folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch hergeleitet werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben.

Transformation der Vektorraumbasis

Der Basisvektor zur Koordinate gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt P bewegt, wenn die Koordinate um einen infinitesimalen Betrag d verändert wird:

Daraus erhält man

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss noch auf die Länge 1 normiert werden:

In ähnlicher Weise erhält man die Basisvektoren e_r und . Um die folgenden Transformationen in kompakter Form zu schreiben, verwenden wir die oben eingeführte Rotationsmatrix S. Diese Matrix ist orthogonal, das heißt, S^-1 =S^T . Die normierten Basisvektoren des Kugelkoordinatensystems kann man dann zusammengefasst so mitteilen:

Entsprechend lautet die Transformation in die Gegenrichtung

Transformation eines Vektorfeldes

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

Diese Bedingung wird erfüllt durch

beziehungsweise

Transformation der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt P im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Einheitsvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix J=Sh anstelle der Rotationsmatrix S. Die Transformation lautet also:

und in die Gegenrichtung

Transformation des Nabla-Operators

Der Nabla-Operator '' hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass '' nicht nur auf die Koeffizienten A_r , ... wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren e_r

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator '' einsetzt, findet man den Laplace-Operator

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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