Kosinussatz

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Andere Schreibweise: Cosinussatz.

Satz 5330N (Kosinussatz)

In einem beliebigen Dreieck gilt:
\(\displaystyle a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha\)
\(\displaystyle b^2 = a^2 +c^2 - 2ac\cdot \cos\beta\)
\(\displaystyle c^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma\)

Beweis

Für die Herleitung benutzen wir den Satz des Pythagoras. Danach gilt im rechtwinkligen Dreieck \(\displaystyle \Delta BCD\):
(1)
\(\displaystyle a^2 = h^2 + (c-q)^2\) \(\displaystyle =h^2 + c^2 -2cq +q^2\).
Nun ist nach dem Satz des Pythagoras auch im rechtwinkligen Dreieck \(\displaystyle \Delta ADC\): \(\displaystyle b^2=h^2+q^2\), also gilt:
(2)
\(\displaystyle a^2 = b^2+c^2-2cq\)
Mit der Definition des Kosinus haben wir \(\displaystyle \cos\alpha = \dfrac {q}{b}\) und umgestellt zu: \(\displaystyle q=b\cdot \cos \alpha\). Setzen wir dies in (2) ein, ergibt sich die Behauptung:
\(\displaystyle a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha\).
Die anderen Fälle erhält man durch analoge Überlegungen mit den anderen Seiten und Winkeln. \(\displaystyle \qed\)
Für rechtwinklige Dreiecke erhält man wegen \(\displaystyle \cos 90°=0\) als Spezialfall den Satz des Pythagoras zurück.
Mit dem Kosinussatz kann man bei zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen.
 
 

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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