Kosinussatz

Andere Schreibweise: Cosinussatz.

Satz 5330N (Kosinussatz)

In einem beliebigen Dreieck gilt:

\(\displaystyle a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha\)
\(\displaystyle b^2 = a^2 +c^2 - 2ac\cdot \cos\beta\)
\(\displaystyle c^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma\)

Beweis

Für die Herleitung benutzen wir den Satz des Pythagoras. Danach gilt im rechtwinkligen Dreieck \(\displaystyle \Delta BCD\):

(1)
\(\displaystyle a^2 = h^2 + (c-q)^2\) \(\displaystyle =h^2 + c^2 -2cq +q^2\).

Nun ist nach dem Satz des Pythagoras auch im rechtwinkligen Dreieck \(\displaystyle \Delta ADC\): \(\displaystyle b^2=h^2+q^2\), also gilt:

(2)
\(\displaystyle a^2 = b^2+c^2-2cq\)

Mit der Definition des Kosinus haben wir \(\displaystyle \cos\alpha = \dfrac {q}{b}\) und umgestellt zu: \(\displaystyle q=b\cdot \cos \alpha\). Setzen wir dies in (2) ein, ergibt sich die Behauptung:

\(\displaystyle a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cdot \cos\alpha\).

Die anderen Fälle erhält man durch analoge Überlegungen mit den anderen Seiten und Winkeln. \(\displaystyle \qed\)

 

Für rechtwinklige Dreiecke erhält man wegen \(\displaystyle \cos 90°=0\) als Spezialfall den Satz des Pythagoras zurück.

Mit dem Kosinussatz kann man bei zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen.

 
 

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Wurzelzieher Mathеpеdιa  •  Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
 
G: 19.10.2017 13:14:29 (222 ms; 433 M)

Das Dreieck