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Koordinatensysteme

Zweidimensionale, kartesische Koordinaten zur Lokalisierung von Hydranten und Wasserabsperrhähnen.

Ein Koordinatensystem dient der Positionsangabe von Punkten im Raum.

Die Position im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Kurven, Abstände, Flächen, Körper) angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf.

Der Nullpunkt, bei dem alle Koordinaten den Wert 0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung.

Das am häufigsten verwendete Koordinatensystem ist - dies gilt besonders für die Schulmathematik - das Kartesische Koordinatensystem.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (wie Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Während sich in solchen Fällen die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anbietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt.

Arten von Koordinatensystemen, jeweils mit dem Punkt P(3;2). a) geradlinige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige

Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensysteme orthogonal.

Beispiele:

geradlinige Koordinatensysteme:

Vektorraum

geradlinige orthogonale Koordinatensysteme:

Kartesisches Koordinatensystem

krummlinige Koordinatensysteme:

Elliptische Koordinaten

krummlinige orthogonale Koordinatensysteme:

ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten

räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Kartesisches Koordinatensystem im zweidimensionalen Raum

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, bei dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch als Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie.

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem

Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.

Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, aber sie sind krummlinig.

Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten.

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen.

Da eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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