Logo

Mathepedia

Unterstützen Sie die Mathepedia!

Jetzt

Mathepedia auf Facebook

Wurzelzieher Blog

Nichtlineare Gleichungssysteme


Konvergenzbetrachtungen zum Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d.h. das 0-te Glied der Folge, schon "ausreichend nahe" an der Nullstelle liegt. Ist der Startwert zu weit weg, kann alles passieren:
  • Die Folge divergiert, der Abstand zur Nullstelle wächst über alle Grenzen.
  • Die Folge divergiert, bleibt aber beschränkt. Sie kann z.B. periodisch werden, d.h. endlich viele Punkte wechseln sich in immer derselben Reihenfolge ab. Man sagt auch, dass die Folge oszilliert.
  • Die Folge konvergiert trotz der Distanz zur Nullstelle, kann jedoch, falls die Funktion mehrere Nullstellen hat, gegen eine andere als die gewünschte Nullstelle (falls man weiß, welche man will) konvergieren.
Newton-Fraktal für p(z)=z^3-1
Newton-Fraktal für p(z) = z3 -1
Ist der Startwert x0 so gewählt, dass das Newton-Verfahren konvergiert, so ist die Konvergenz allerdings quadratisch, also mit der Konvergenzordnung 2 (falls die Ableitung an der Nullstelle nicht verschwindet). Die Menge der Startpunkte, für die das Newton-Verfahren gegen eine bestimmte Nullstelle konvergiert, bildet den Einzugsbereich dieser Nullstelle. Färbt man für eine Polynomfunktion, mit reellen oder komplexen Koeffizienten, die Einzugsbereiche verschiedener Nullstellen in der komplexen Ebene verschieden ein, so ergibt sich ein Newton-Fraktal. In diesem ist zu erkennen, dass die Einzugsbereiche Bassins, d.h. Kreisscheiben um die Nullstellen enthalten, aus welchen heraus die Newton-Iteration stabil gegen die Nullstelle im Zentrum konvergiert. Aber es ist auch zu erkennen, dass die Ränder der Einzugsbereiche "ausgefranst" sind, sie haben sogar eine fraktale Struktur. Geringe Abweichungen im Startpunkt können also zu verschiedenen Nullstellen führen. Falls es jedoch im Intervall I = ]a;b[ genau eine Nullstelle gibt, in I durchweg f ´ > 0 sowie f ´´ < 0 gilt und der Startwert wFormel links von der Nullstelle wFormel gewählt wird, dann konvergiert das Newton-Verfahren stets, und zwar streng monoton wachsend (siehe Abbildung unten bzw. die Tabelle oben ab n = 1).

Beispiele für Nicht-Konvergenz

Oszillierendes Verhalten

Oszillierendes Verhalten ergibt sich für das Polynom f(x) := x3 - 2x + 2 mit f ´(x) = 3x2 - 2. Der Punkt x = 0 mit f(0) = 2 und f ´(0) = - 2 wird durch den Newton-Operator auf den Punkt N(0) = 0 - 2/( - 2) = 1 abgebildet, der Punkt x = 1 wiederum, mit f(1) = 1 und f ´(1) = 1, wird auf N(1) = 1-1/1 = 0 abgebildet, so dass die Newton-Iteration mit einem dieser Punkte als Startwert eine periodische Folge ergibt, diese beiden Punkte wechseln sich zyklisch ab. Des Weiteren ist dieser Zyklus stabil, er bildet einen Attraktor der Newton-Iteration. Das bedeutet, es gibt eine kleine Umgebung beider Punkte, so dass Startpunkte in dieser Umgebung gegen den Zyklus konvergieren und somit je einen der Punkte 0 und 1 als Grenzwert der Teilfolge mit geradem Index und der mit ungeradem Index haben.

Divergenz

Divergenz bzw. beliebig weites Entfernen vom Startpunkt ergibt sich für f(x) = sin(x) mit f´(x) = cos(x) und N(x) = x - tan(x). Es gibt eine Stelle wFormel mit wFormel. Man überzeugt sich, dass dann wFormel gilt. Dieses Verhalten ist nicht stabil, denn bei leichter Variation des Anfangswertes, wie sie zum Beispiel durch die numerische Berechnung entsteht, entfernt sich die Newton-Iteration immer weiter von der idealen divergierenden Folge. Selbst bei schließlicher Konvergenz wird die gefundene Nullstelle sehr weit vom Startwert entfernt sein.

Lokale quadratische Konvergenz

Sei f eine zweimal stetig differenzierbare reelle Funktion und a eine Nullstelle von f, in welcher die Ableitung keine Nullstelle hat. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion transversal, d.h. nicht-berührend, die x-Achse schneidet. Sei x ein Punkt nahe bei a. Dann kann die Taylor-Formel zweiten Grades (mit Restglied)
wFormel    (wFormel liegt zwischen x und a),
nach der Differenz (x - a) umgestellt werden,
wFormel.
Es wird nun so umgestellt, dass der Newton-Operator auf der rechten Seite erscheint,
wFormel.
Seien I ein Intervall um a ohne Nullstelle der Ableitung f '(x) und wFormel sowie wFormel Schranken der Ableitungen von f. Dann folgt für alle wFormel die Abschätzung
wFormel.
Mit wFormel sei der konstante Faktor bezeichnet. In jedem Schritt n der Newtoniteration wird die Größe K | xn - a | kleiner sein als das Quadrat derselben Größe im vorhergehenden Schritt (n-1). Nach vollständiger Induktion ergibt sich
wFormel.
Kann also für den Startpunkt der Iteration die Abschätzung K | x0 - a | < 1 garantiert werden, z.B. indem die Intervallänge von I kleiner als 1/K ist, so konvergiert die Folge (xn ) der Newton-Iteration gegen die Nullstelle a, denn die Folge (K | xn - a | ) ist nach der angegebenen Abschätzung eine Nullfolge. Die Verkürzung des Intervalls kann durch einige Iterationen eines langsameren Verfahrens zur Nullstelleneinschränkung erreicht werden, z.B. des Bisektionsverfahrens oder der Regula falsi.
Die aus dieser Abschätzungen folgende Konvergenzgeschwindigkeit wird als quadratisch bezeichnet, die (logarithmische) Genauigkeit bzw. Anzahl gültiger Stellen verdoppelt sich in jedem Schritt. Die Abschätzung des Abstands | xn - a | zur Nullstelle wird oft linear in | x0 - a | angegeben, so gilt z.B.
  • wFormel, falls die Länge des Intervalls I kleiner als wFormel ist. Dies ergibt eine Abschätzung der gültigen Stellen im Binärsystem.
  • wFormel, falls die Länge des Intervalls I kleiner als wFormel ist, d.h. nahe genug an der Nullstelle ergibt sich eine Verdopplung der Dezimalstellen in jedem Schritt.

Bemerkungen

  • Der lokale Konvergenzbeweis kann auch auf gleiche Weise im mehrdimensionalen Fall geführt werden, allerdings ist er dann technisch etwas schwieriger, da mit zwei- und dreistufigen Tensoren für die erste bzw. zweite Ableitung gearbeitet wird. Im wesentlichen ist die Konstante K durch wFormel zu ersetzen, mit geeigneten induzierten Operatornormen.
  • Der lokale Konvergenzbeweis setzt voraus, dass ein eine Nullstelle enthaltendes Intervall bekannt ist. Aus seinem Beweis ergibt sich aber keine Möglichkeit, dies schnell zu testen. Ein Konvergenzbeweis, auch hierfür ein Kriterium liefert, wurde zuerst von Leonid Kantorowitsch geführt und ist als Satz von Kantorowitsch bekannt.
  • Um einen geeigneten Startpunkt zu finden, verwendet man gelegentlich andere ("gröbere") Verfahren. Beispielsweise kann man mit dem Gradientenverfahren eine ungefähre Lösung ermitteln und diese dann mit dem Newton-Verfahren verfeinern.
  • Bei unbekanntem Startpunkt kann man mittels einer Homotopie die Funktion f, von der man eine Nullstelle sucht, zu einer einfacheren Funktion g deformieren, von der (mindestens) eine Nullstelle bekannt ist. Man durchläuft dann die Deformation rückwärts in Form einer endlichen Folge sich nur "wenig" unterscheidender Funktionen. Von der ersten Funktion g kennt man eine Nullstelle. Als Startwert der Newton-Iteration zur gerade aktuellen Funktion der Folge verwendet man die Näherung einer Nullstelle der in der Folge vorhergehenden Funktion.
Als Beispiel mag die "Flutungshomotopie" dienen: mit einem willkürlichen z bilden wir die Ausgangsfunktion g(x) = f0 (x) := f(x) - f(z) mit bekannter Nullstelle z . Wir haben den "Wasserspiegel" vom "Nullpegel" auf die Höhe f(z) geflutet. Nun senken wir schrittweise den Wasserstand, wFormel. In jedem Schritt wird eine Näherung wFormel einer Nullstelle bestimmt, wobei wFormel gesetzt wird. Es ist fN = f und somit wFormel eine der gesuchten Näherungslösungen.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

 

 

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Newton-Verfahren aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Lizеnz Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). Listе dеr Autorеn des Originalartikels. Achtung! Unter Umständen besitzt diese Seite kaum noch Ähnlichkeit mit dem genannten Wιkιpеdιa-Artikel, da dieser komplett überarbeitet werdet musste, um Fehler und irrelevante Informationen zu entfernen.



Anbieterkеnnzeichnung: Wurzelzieher Mathеpеdιa  •  Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
 
G: 23.01.2014 12:17:13 (1.078 ms; 281 M)
C: 29.11.2014 03:08:41 (27 ms; 216 M)