Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann kann man die Menge der ganzen Zahlen in folgender Weise aus ihr gewinnen:

Wir betrachten die Menge aller geordneten Paare natürlichen Zahlen, und definieren folgende Äquivalenzrelation:

, falls a + d = c + b

Außerdem definieren wir eine Addition und Multiplikation in dieser Menge:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir , die Äquivalenzklasse eines Paares (a, b) schreiben wir als (a - b), (0 - b) schreiben wir auch als - b.

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf , mit denen zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den man die natürlichen Zahlen so einbetten:

Eine ganze Zahl heißt dann negativ, wenn sie von der Form (0 - n) = - n ist mit einer natürlichen Zahl n > 0.

Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon, ob die 0 enthält oder nicht.

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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