Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke heißen kongruent zueinander, wenn sie sich durch eine Bewegung ineinander überführen lassen. Natürlicherweise sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie in allen Seiten und allen Innenwinkeln übereinstimmen. Die Kongruenzsätze beschreiben die Voraussetzungen, unter dehnen zwei Dreiecke kongruent sind, falls nicht alle Bestimmungsstücke gegeben sind.

Satz 5516A (Kongruenzsätze)

Die folgenden Aussagen sind zueinander äquivalent:

  1. Zwei Dreiecke sind kongruent
  2. Zwei Dreiecke stimmen in allen drei Seiten überein (SSS)
  3. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel überein (SWS)
  4. Zwei Dreiecke stimmen in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein (WSW)
  5. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein (SsW)

In Klammern sind die üblichen Abkürzungen für diese Kongruenzsätze angegeben.

Die Übereinstimmung in allen drei Winkeln reicht für die Kongruenz nicht aus. Es lassen sich beliebig viele Dreiecke mit den gleichen Winkeln und verschiedenen Seitenlängen angeben. Man muss dazu die Seitenlängen nur mit einem gemeinsamen von 1 verschiedenen Faktor multiplizieren.

 
 

Beweisskizze

Dass aus (i) die anderen Behauptungen folgen ist sofort ersichtlich.

Bei den Umkehrungen mache man sich klar, wie aus den gegebenen Stücken die jeweils fehlenden zu ermitteln sind. \(\displaystyle \qed\)

Ähnlichkeit

Ähnlichkeitssätze am Dreieck:

Dreiecke sind ähnlich, wenn

  1. in zwei Winkeln übereinstimmen,
  2. im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen,
  3. im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen,
  4. im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite

übereinstimmen.

Dabei genügt es, dass eine der Bedingungen erfüllt ist.

Der Begriff der Ähnlichkeit ist schwächer als der der Kongruenz: kongruente Dreiecke sind immer ähnlich, die Umkehrung muss allerdings nicht gelten.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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