Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

   - Metrische Räume

       Halbmetrische Räume

       Ultrametriken

      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

      - Folgen und Konvergenz

      - Abbildungen und Stetigkeit

      - Kompaktheit

          Satz 5909E

          Abgeschlossenheit

       Gleichmäßige Stetigkeit

   - Topologische Vektorräume

- Numerik

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Kompakte Mengen in metrischen Räumen

Unter einer offenen Überdeckung einer Menge A versteht man eine Familie offener Mengen B_i , wobei und I eine beliebige Indexmenge ist, für die gilt:

(1)

.

Eine Teilmenge A eines metrischen Raums M heißt kompakt, wenn man aus jeder Überdeckung von A mit offenen Mengen eine endliche Teilüberdeckung auswählen kann.

Wenn (1) also eine solche Überdeckung ist, finden wir endlich viele Indizes i₁ , i₂ , ..., i_n , so dass gilt.

Trivialerweise ist jede endliche Teilmenge eines metrischen Raumes kompakt.

Satz 16JY (Kompaktheit und Teilfolgen)

Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn jede Folge aus K eine konvergente Teilfolge in K enthält.

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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