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Kettenbrüche

Einfache oder reguläre Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein regulärer Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:

Dabei ist a₀ eine ganze Zahl und a₁ , a₂ , ... sind positive ganze Zahlen.

Allgemeine Kettenbrüche sind eine erweiterte Form der regulären Kettenbrüche. Ein allgemeiner Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:

Dabei sind a₀ , a₁ , a₂ , ..., b₁ , b₂ , ... positive ganze Zahlen.

Wenn von einem "Kettenbruch" ohne nähere Angabe die Rede ist, ist meist ein regulärer Kettenbruch gemeint.

Eine alternative Schreibweise für (reguläre) Kettenbrüche ist [a₀ ;a₁ , a₂ , ...]. Diese wurde von Oskar Perron in seinem Werk "Die Lehre von den Kettenbrüchen" eingeführt.

Man unterscheidet endliche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.

Endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem n-ten Glied auf, hat also die Form:

,

wobei zur eindeutigen Darstellung festgelegt wird.

Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl. Umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das lässt sich über den euklidischen Algorithmus realisieren:

Ein Bruch lässt sich wie folgt zerlegen:

a = b + r₂

b = + r₃

r₂ = + r₄

.

.

r_n = + r_{n + 2}

.

.

r_o = + 0

Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:

a = q₀ *b + r₂ | : b

Beispiel :

13 = 2 5 + 3

5 = 1 3 + 2

3 = 1 2 + 1

2 = 2 1 + 0

In der alternativen Schreibweise ist

Unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

Periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.

Dass die erste dieser Behauptungen leicht zu zeigen ist, sei an einem Beispiel demonstriert: Wenn x etwa der periodische Kettenbruch

ist, dann gilt

woraus 7x² - 8x - 3 = 0 folgt.

Ein Beispiel ist der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2:

Eine besondere Form periodischer unendlicher Kettenbrüche beschreibt die noblen Zahlen.

Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodisch unendliche Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.

Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e:

e = [2;1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...]

wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt, jedoch keine Periode aufweist.

Der Kettenbruch zu Kreiszahl hat kein erkennbares Muster:

Es existiert jedoch ein sehr regelmäßiger, aber nicht mehr regulärer Kettenbruch für :

Ebenfalls nichtperiodisch ist beispielsweise der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:

Historisches und Anwendungen

Zur Geschichte der Kettenbrüche

Die Theorie der Kettenbrüche entwickelte sich aus dem Bedürfnis hieraus, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren. Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis

= [29;2, 2, 1, 5, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 14, 2, 2] = 29, 425471...

berechnen. Mit nur drei Kettengliedern beträgt der relative Fehler hierbei ungefähr 0,01 %:

Auch zur Festlegung von Schaltjahren kann man Kettenbruchnäherungen benutzen. Fast alle Kulturen nutzen sie zur Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern. Und auch die wichtige Kreiszahl wussten die Chinesen schon durch Brüche anzunähern. Natürlich ist im Zeitalter des Computers die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl oder anderer irrationaler Zahlen problemlos machbar; eine extrem genaue Approximation ist jedoch selten sinnvoll.

Anwendungen

• Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen n, die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von .
• Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, beispielsweise um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden. Am Wachstum der Folge a_n kann man ablesen, wie gut die Zahl =[a₀ ;a₁ , ...] durch rationale Zahlen approximierbar ist; falls die Folge a_n schnell genug wächst, ist ein Liouvillesche Zahl und daher transzendent.
• Kettenbrüche werden benutzt um rationale Näherungen an eine vorgegebene reelle Zahl zu berechnen, d.h. die betreffende Zahl durch Brüche anzunähern, deren Zähler und Nenner für die erzielte Genauigkeit der Darstellung möglichst klein sind. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an den Kettenbruch ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner größer macht.

Beispiel: die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für

liefert nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für die Näherungswerte

; ; ; , usw.

Diese sind abwechselnd ein bisschen zu klein und ein bisschen zu groß, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.

• Kettenbrüche eignen sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.
• 1834 gab Herr VincentVincent, Mémoire sur la résolution des équations numériques. Mém. Soc. R. des Sc. de Lille (1834), pp. 1-34. eine Methode an, mittels Kettenbruchentwicklungen die reellen Nullstellen eines ganzzahligen quadratfreien Polynoms zu trennen, d.h. für jede Nullstelle ein Intervall mit rationalen Endpunkten zu finden, welches keine weitere Nullstelle enthält und auf welchem das Newton-Verfahren gegen diese Nullstelle konvergiert. Eine Variante dieses Verfahrens ist der Uspensky-Algorithmus, jedoch eine moderne Umsetzung erst das Verfahren nach Collins/Akritas.

Literatur

• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig, Berlin, 1913
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)
• A. Khintchine: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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