Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

   - Gleichungen

   - Gruppen

       Halbgruppen und Monoide

      - Beispiele

       Gruppentafel

       Kommutative Gruppen

      - Untergruppen

      - Homomorphismus

          Kern und Bild

          Isomorphie

          Homomorphiesatz

          Automorphismen

      - Spezielle Gruppen

      - Isomorphietypen

   - Ringe und Körper

   - Algebren

   - Polynome

   - Verbandstheorie

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen

Seien G und H zwei Gruppen und ein Homomorphismus. Der Kern von f ist die Menge aller aufs neutrale Element e_H von H abgebildet wird. Das Bild von f ist die Menge aller in H vorkommenden Bilder.

Der folgende Satz kennzeichnet die Kerne und Bilder von Gruppenhomomorphismen näher:

Satz 5213C (Eigenschaften von Kern und Bild eines Homomorphismus)

Seien G und H zwei Gruppen und ein Homomorphismus. Dann gilt:

1. ist ein Normalteiler in G
2. ist Untergruppe von H

Beweis

(i) Wir zeigen zuerst, dass eine Untergruppe von G ist.

Es ist , denn nach Satz 5213B gilt f(e_G ) = e_H und damit: . Damit hätten wir auch das neutrale Element gefunden.

Nach Satz 5210A brauchen wir jetzt nur noch zu zeigen, dass mit auch gilt. Unter Benutzung von Satz 5213B und der Homomorphieeigenschaft ergibt sich aber , womit folgt.

Damit ist eine Untergruppe von G; um jetzt noch zu zeigen, dass auch Normalteiler ist, nehmen wir und beliebig an. Es gilt dann = f(e_G ) = e_H . Damit gilt und nach Satz 5212A ist dann Normalteiler von G.

(ii) Die Schlussweise ist ähnlich wie bei (i). Wir benutzen Satz 5210A und Satz 5213B.

Zuerst , wegen .

Dann zeigen wir, dass mit auch Dazu müssen wir ein finden mit . Diese g ist aber gerade , wenn aber gerade dasjenige ist, für dass f(g_a ) = a gilt (analog wird g_b gewählt). Der Rest ergibt sich mit ein bisschen homomorpher Rechnerei. .

Wenn die Kerne von Homomorphismen Normalteiler sind, stellt sich sofort die Frage, ob auch alle Normalteiler als Kerne von Gruppenhomomorphismen aufgefasst werden können. Diese Frage beantwortet

Satz 5213D (Kanonische Homomorphismen von Normalteilern)

Sei G eine Gruppe und H Normalteiler in G. Dann existiert eine Homomorphismus mit

Dieser Homomorphismus wird kanonischer Homomorphismus genannt und ist durch f(g) := gH gegeben.

Beweis

f ordnet jedem Gruppenelement seine Linksnebenklasse zu. Nach Satz 5213E ist G/H eine Gruppe.

Die Homomorphie von f ergibt sich einfach auch der Definition und wenn man nochmals einen Blick in den Beweis von Satz 5213E wirft.

Bleibt zu zeigen . Unter Benutzung von Lemma 5211A können wir folgende Äquivalenzkette aufbauen: .

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Gruppen, Ringe, Körper: Die grundlegenden Strukturen der Alg...

Heinz Lüneburg

Algebra: Gruppen - Ringe - Körper

Christian Karpfinger

Lie- Gruppen und Lie - Algebren

Joachim Hilgert

Algebra: Gruppen - Ringe - Körper

Christian Karpfinger

Liesche Gruppen und Algebren

Jacques Tits

Liealgebren: Kommutator, Orthogonale Gruppe, Matrixexponenti...

Bücher zum Thema Gruppe algebra auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de