Innenwinkel im Dreieck

Die Innenwinkel eines Dreiecks sind die Winkel, deren Scheitelpunkte die Ecken sind.

Satz 5515C (Innenwinkelsatz im Dreieck)

In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.
InnenwinkelSatz.png
Sind \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) und \(\displaystyle \gamma\) die Innenwinkel eines Dreiecks, so gilt:
\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma =180°\).

Beweis

Zum Beweis benutzen wir den Wechselwinkelsatz.
Zur Seite \(\displaystyle \overline {AB}\) bilden wir die Parallele durch den Punkt \(\displaystyle C\). Dann ist der Winkel \(\displaystyle \delta\) Wechselwinkel zu \(\displaystyle \alpha\) und \(\displaystyle \epsilon\) Wechselwinkel zu \(\displaystyle \beta\). Damit gilt \(\displaystyle \alpha = \delta\) und \(\displaystyle \beta = \epsilon\). Zusammen mit \(\displaystyle \gamma\) ergänzen sie sich zu 180°. \(\displaystyle \qed\)
 
 

Anwendung und Folgerungen

Nach dem Innenwinkelsatz kann es keine Dreiecke mit Winkeln \(\displaystyle \geq 180°\) geben und ein Dreieck kann maximal einen stumpfen Winkel haben.
DreieckStumpf.png
Sind zwei Winkel gegeben, so ist der dritte eindeutig bestimmt.
Unter diesen Voraussetzungen sind folgende Winkelkombinationen im Dreieck möglich:

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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