Innenwinkel im Dreieck

Die Innenwinkel eines Dreiecks sind die Winkel, deren Scheitelpunkte die Ecken sind.

Satz 5515C (Innenwinkelsatz im Dreieck)

In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

Sind \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) und \(\displaystyle \gamma\) die Innenwinkel eines Dreiecks, so gilt:
\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma =180°\).

Beweis

Zum Beweis benutzen wir den Wechselwinkelsatz.

Zur Seite \(\displaystyle \overline {AB}\) bilden wir die Parallele durch den Punkt \(\displaystyle C\). Dann ist der Winkel \(\displaystyle \delta\) Wechselwinkel zu \(\displaystyle \alpha\) und \(\displaystyle \epsilon\) Wechselwinkel zu \(\displaystyle \beta\). Damit gilt \(\displaystyle \alpha = \delta\) und \(\displaystyle \beta = \epsilon\). Zusammen mit \(\displaystyle \gamma\) ergänzen sie sich zu 180°. \(\displaystyle \qed\)

 
 

Anwendung und Folgerungen

Nach dem Innenwinkelsatz kann es keine Dreiecke mit Winkeln \(\displaystyle \geq 180°\) geben und ein Dreieck kann maximal einen stumpfen Winkel haben.

Sind zwei Winkel gegeben, so ist der dritte eindeutig bestimmt.

Unter diesen Voraussetzungen sind folgende Winkelkombinationen im Dreieck möglich:

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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