Inhalt

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Implizite Funktionen

Eine Funktion mit wird implizit genannt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

gegeben ist, d.h. .

Welche Bedingungen sind an F zu stellen, damit durch F(x, y) = 0 eine Funktion y = f(x) definiert wird? Also unter welchen Bedingungen an F ist die Gleichung F(x, y) = 0 eindeutig nach y auflösbar?

In Komponenten zerlegt bedeutet dies, das Gleichungssystem

wobei ; und auf D nach y₁ , ..., y_m aufzulösen ist. Es sind also reellwertige Funktionen zu bestimmen, so dass gilt

für und .

Beispiele

Umkehrbarkeit linearer Abbildungen

F(x, y) = Ay - x mit der Matrix .

F(x, y) = 0. Ist A invertierbar, so gilt y = f(x) = A^-1 x

; F(x, y) = y³ - x² , F(x, y) = 0. Durch F(x, y) = y³ - x² = 0 wird eindeutig eine reelle Funktion y = f(x) definiert. Die Auflösung nach y ist eindeutig

; F(x, y) := x² + y² -1 = 0 ist nicht eindeutig umkehrbar. Funktionen sind z.B. , . Durch die Gleichung F(x, y) = x² y² -1 = 0 wird nicht eindeutig eine Funktion y = f(x) definiert.

In den meisten Fällen ist nicht die globale Umkehrbarkeit von Interesse, sondern, ob durch die Gleichung F(x, y) = 0 in einer Umgebung mit eine Funktion y = f(x) mit definiert wird (lokale Auflösbarkeit von F(x, y) = 0 nach y).

Bezeichnungen für den nachfolgenden Satz

;    ;         mit und ()

F(x, y) = F(x₁ , ..., x_n , y₁ , ..., y_m )

ist eine -Matrix und ist eine -Matrix.

Satz 16KT (Satz von der impliziten Funktion)

Seien , offen und die Funktion stetig differenzierbar. Ferner seien und Punkte, für die und die Jacobimatrix invertierbar ist. Dann gilt:

1. Es existiert eine -Umgebung und eine -Umgebung und genau eine stetige Funktion mit und F(x, f(x)) = 0 für alle . Für jedes feste ist f(x) die einzige Lösung in mit F(x, f(x)) = 0.
2. Es existiert eine weitere -Umgebung () , in welcher die Funktion stetig differenzierbar ist und die Formel: gilt.

Beispiel

Sei mit F(x, y) = x² + y² -1; F(x, y) = 0 beschreibt den Einheitskreis. für und .

Nach Satz 16KT ist die Gleichung F(x, y) = x² + y² -1 = 0 in jeder offenen Umgebung von mit und nach y eindeutig auflösbar. In (-1, 0) und (1, 0) ist F(x, y) = 0 nicht lokal nach y auflösbar.

F(x, f(x)) = x² + f(x)² -1 = 0,

. Für y > 0 ist und .

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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