Formelsammlung Mathe

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Die Hyperbel

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Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, wo die Differenz des Abstandes zu zwei vorgegebenen Punkten F1 und F2 den festen Wert 2a hat.

Sei O der Mittelpunkt der Strecke F1 F2 und c = OF1 = F2 O. Für unsere Betrachtungen legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Punkt O und richten die x-Achse entlang der Strecke OF1 aus. Wenn die Hyperbel die x-Achse im Punkt S1 schneidet, erkennt man, dass a = OS1 gilt.

Legen wir jetzt noch b2 = c2 - a2 fest, können wir die folgende Formel für die Hyperbel angeben:

Formel 15VU (Gleichung der Hyperbel in Normalform)


Herleitung

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(1)    r21 = (x - c)2 + y2 = x2 - 2cx + c2 + y2
(2)    r22 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2

Nach der Definition der Hyperbel gilt:

(3)    r2 - r1 = 2a
und wenn wir (1) von (2) subtrahieren, ergibt sich: r22 - r21 = 4cx. Also:

4cx = r22 - r21 = (r2 - r1 )(r2 + r1 ) = 2a(r2 + r1 )
und
.

Zusammen mit (3) gilt dann: . Setzen wir dieses Ergebnis in (2) ein, erhalten wir:


Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

 

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