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Homomorphismen von Gruppen

Seien G und H zwei Gruppen. Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus oder einfach Homomorphismus genau dann, wenn für alle gilt:

Ein Homomorphismus ist damit eine Abbildung zwischen Gruppen, die mit den Operationen der Gruppen verträglich ist.

Bei den Morphismen haben sich folgende Begriffsbildungen durchgesetzt:

f ist Monomorphismus f ist injektiver Homomorphismus

f ist Epimorphismus f ist surjektiver Homomorphismus

f ist Isomorphismus f ist bijektiver Homomorphismus

f ist Endomorphismus f ist Homomorphismus auf sich selbst

f ist Automorphismus f ist bijektiver Endomorphismus, also ein Isomorphismus auf sich selbst

Beispiele

Sei und die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen.

Die Exponentialfunktion f(x) = e^x ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen. Es gilt: f(a + b) = e^{a + b}

Sei die Signumfunktion wie folgt definiert:

Dann ist sgn ein Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe in die multiplikative Gruppe {+1, -1}. Dieser Homomorphismus spiegelt gerade die Regeln für die Multiplikation vorzeichenbehafteter Zahlen wider. Der Kern dieses Homomorphismus ist die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen.

In der multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen ist ein Homomorphismus. Es gilt: . Da die Abbildung bijektiv ist, handelt es sich sogar um einen Isomorphismus.

Homomorphismen besitzen einige interessante Eigenschaften:

Satz 5213B

Seien G und H zwei Gruppen, e_G und e_H die neutralen Elemente in G und H und ein Homomorphismus. Dann gilt:

f(e_G ) = e_H
f(a^-1 ) = f(a)^-1 für alle

Homomorphismen überführen neutrale Elemente in neutrale Elemente und inverse Elemente in inverse.

Beweis

(i) . Es kann in H nur ein Element mit einer solchen Eigenschaft geben, das neutrale Element e_H , womit also gilt: f(e_G ) = e_H .

(ii) Für ein gilt: . Multiplizieren wir von links mit f(a)^-1 ergibt sich die Behauptung: f(a^-1 ) = f(a)^-1

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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