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Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren (oft auch Babylonische Wurzelziehen) ist ein alter iterativer Algorithmus zur Bestimmung einer rationalen Näherung der Quadratwurzel einer Zahl. Es ist ein Spezialfall des Newton-Verfahrens.

Die Iterationsvorschrift lautet:

.

Hierbei steht a für die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Der Startwert x₀ der Iteration kann, solange er nicht gleich Null ist, beliebig festgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass negative Werte gegen die negative Quadratwurzel konvergieren.

Beispiel

Im Folgenden ein triviales Beispiel für die Wurzel aus 9 und die Annäherung nach vier Berechnungsschritten an den wahren Wert : a = 9 und x₀ = 1

Geometrische Veranschaulichung des Heron-Verfahrens

Der Flächeninhalt eines Quadrates kann über das Quadrat der Länge seiner Seiten berechnet werden.

Die Bestimmung der Quadratwurzel einer gegebenen Zahl a kann also geometrisch gedeutet werden als Bestimmung der Seitenlänge (genauer: als rationale Näherung zu ) eines Quadrates mit dem Flächeninhalt a.

Die Idee ist nun, von einem Rechteck des Flächeninhaltes a auszugehen und die Seitenlängen einem Quadrat immer weiter anzunähern.

Dazu wird ein Startwert gewählt, im obigen Fall gilt a = 9 und als Startwert wurde x₀ = 1 gewählt. Geometrisch bedeutet dieses, dass von einem Rechteck der Seitenlänge x₀ = 1 ausgegangen wird.

Die andere Seitenlänge dieses Rechtecks ergibt sich aus dem vorgegebenen Flächeninhalt:

Bei der Betrachtung ist unmittelbar ersichtlich, dass es eine geeignetere Näherung an ein Quadrat gibt, denn die eine Seitenlänge x₀ = 1 ist zu klein, die andere mit y₀ = 9 zu groß.

Um eine verbesserte Annäherung an die Länge einer Quadratseite zu erhalten, kann das arithmetische Mittel der Seitenlängen x₀ und y₀ dienen (Hier gibt es eine ganze Reihe von Möglichkeiten, das Verfahren zu verfeinern.):

Die Länge der zweiten Seite dieses neuen Näherungs-Rechtecks ergibt sich wieder durch den vorgegebenen Flächeninhalt a:

Die Werte x₁ = 5 und y₁ = 1, 8 sind geometrisch gedeutet die Seitenlängen eines zweiten Näherungs-Rechtecks.

Dieses und die folgenden Rechtecke lassen sich nun weiter verbessern durch erneute Bildung des arithmetischen Mittelwertes als verbesserte Näherung an die Seitenlänge eines Quadrates mit der Seitenlänge .

Konvergenz

Das Verfahren konvergiert relativ rasch innerhalb weniger Schritte. Da es sich aus dem Newtonschen Näherungsverfahren ableiten lässt, ist die Konvergenzordnung 2.

Es gelten:

Fehler

Für den Fehler der Heron-Folge gilt:

(Einschließung), sowie

(quadratische Konvergenz)

Verallgemeinerung des Verfahrens

Dieses Verfahren kann man leicht verallgemeinern, sodass man die n-te Wurzel berechnen kann. Umso größer n jedoch ist, umso mehr Schritte werden benötigt, um die Wurzel genau zu berechnen.

Die Iterationsvorschrift lautet hier:

Geschichte

Dieses Verfahren ist nach Heron von Alexandria benannt und entstammt seiner Formelsammlung.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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