Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Funktionsfolgen und -reihen

Spezielle Funktionen

Parameterintegrale

Hypergeometrische Funktion

Legendre-Polynom

Hermitesches Polynom

Laguerre-Polynome

Elliptisches Integral

Mehrdimensionale Analysis

Funktionentheorie

Spezielle Teilgebiete

Maß- und Integrationstheorie

Variationsrechnung

Nichtstandardanalysis

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

Anbieterkennzeichnung

Weiterbildung für alle! Über 200 Fernlehrgänge an Deutschlands größter Fernschule!

Hermitesches Polynom

Neu: Das Wurzelzieher Mathepedia Forum.

Jetzt registrieren und mit anderen Nutzern über Mathematik diskutieren!

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

bzw.

Die ersten Polynome lauten explizit

H₀ (x) = 1

H₁ (x) = 2x

H₂ (x) = (2x)² - 2 = 4x² - 2

H₃ (x) = (2x)³ - 6(2x) = 8x³ -12x

H₄ (x) = (2x)⁴ - 12(2x)² + 12 = 16x⁴ - 48x² + 12

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen:

H_{n + 1} (x) = 2 x H_n (x) - 2 n H_n-1 (x)

H_n '(x) = 2 n H_n-1 (x)

Da bei jedem Itterationsschritt ein x hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H_n (x) ein Polynom von Grade n ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz xⁿ ist 2ⁿ . Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

ausdrücken lässt.

Die Hermiteschen Polynome sind die partikulären Lösungen, d.h. jeweils zu einem festen n, der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion die Orthogonalitätsrelation

Das heißt, dass bestimmte Funktionen von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Ihre Bedeutung erhalten sie durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der Gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome ist

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion orthogonal

und erfüllen die Differentialgleichung

y'' + x y' + n y = 0

Sie lassen sich rekursiv durch

He_{n + 1} (x) = x He_n (x) - n He_n-1 (x)

bestimmen.

Anwendung

Die Hermite-Polynome finden eine Anwendung in der Quantenmechanik. Dort sind sie Bestandteil der Wellenfunktion eines harmonischen Oszillators.

Literatur

I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. Aufl. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
Abramowitz und Stegun, Pocketbook of Mathematical Functions
Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

Druckansicht

Impressum: Wurzelzieher Mathepedia • Thomas Steinfeld • Dorfplatz 25 • 17237 Blankensee • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: matһе@wυrzеlzιeher.de

Amazon.de empfiehlt: