Halbwinkelsätze

Bei Kenntnis der Seitenlängen, können die halben Winkelgrößen aller Innenwinkel eines Dreiecks über Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmt werden.

Satz 167Z (Halbwinkelsätze im Dreieck)

Seien \(\displaystyle a,b,c\) die Seiten eines Dreiecks, \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\) die gegenüberliegenden Winkel und \(\displaystyle s=\dfrac{a+b+c}2\) der halbe Umfang.
Dann gilt:
\(\displaystyle \sin \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}}\) \(\displaystyle \sin \dfrac \beta 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}}\) \(\displaystyle \sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}\)
\(\displaystyle \cos \dfrac \alpha 2 = \sqrt {\dfrac {s(s-a)} {bc}}\) \(\displaystyle \cos \dfrac \beta 2 = \sqrt {\dfrac {s(s-b)} {ac}}\) \(\displaystyle \cos \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {s(s-c)} {ab}}\)
\(\displaystyle \tan \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\) \(\displaystyle \tan \dfrac \beta 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}\) \(\displaystyle \tan \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)
 
 

Beweis

Aus der Formel des Cosinussatzes \(\displaystyle c^2 =a^2 +b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma\) erhalten wir
(1)
\(\displaystyle \cos\gamma = \dfrac{ a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}\)
Es ist \(\displaystyle \cos \dfrac\gamma 2 = \sqrt{\dfrac{1+\cos\gamma}2}\) (vgl. Satz 5316D). Setzen wir hier (1) ein, ergibt sich: \(\displaystyle \cos \dfrac\gamma 2 =\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac { a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}} {2}}\) \(\displaystyle =\sqrt{\dfrac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{4ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{\dfrac{(a+b)^2 - c^2}{4ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{ \dfrac{a+b+c} 2 \cdot \dfrac{a+b-c} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{ s \cdot (s-c) \cdot \dfrac 1 {ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt {\dfrac {s(s-c)} {ab}}\).
Geht man von den anderen Varianten des Kosinussatzes aus, erhält man die Behauptungen für \(\displaystyle \cos\dfrac \alpha 2\) und \(\displaystyle \cos\dfrac \beta 2\).
Benutzen wir nun \(\displaystyle \sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt{ \dfrac {1- \cos \gamma} 2}\) (Satz 5316D), erhalten wir \(\displaystyle \sin \dfrac\gamma 2 =\) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{1- \dfrac { a^2 + b^2 - c^2 }{2ab}} {2}}\) \(\displaystyle =\sqrt{\dfrac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{4ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{\dfrac{-(a-b)^2 + c^2}{4ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{ \dfrac{(a-b)+c} 2 \cdot \dfrac{-(a-b)+c} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{ \dfrac{a+c-b} 2 \cdot \dfrac{b+c-a} 2 \cdot \dfrac 1 {ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt{ (s-a) \cdot (s-b) \cdot \dfrac 1 {ab}}\) \(\displaystyle =\sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}\)
Die anderen beiden Beziehungen für den Sinus ergeben sich wieder analog.
Bekanntlich ist \(\displaystyle \tan\gamma = \dfrac {\sin \gamma}{\cos \gamma}\), also: \(\displaystyle \tan \dfrac \gamma 2 =\) \(\displaystyle \sqrt {\dfrac {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}{ \dfrac {s(s-c)} {ab}}}\) \(\displaystyle =\) \(\displaystyle \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\).
Durch analoges Schließen für die Winkel \(\displaystyle \beta\) und \(\displaystyle \gamma\) erhält man die anderen Beziehungen für den Tangens. \(\displaystyle \qed\)

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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