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Wurzelzieher Blog
 

Reelle Zahlen


Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Ein Punkt \(a\in \domR\) heißt Häufungspunkt (oder auch Häufungswert) einer Zahlenfolge \((a_n)\), wenn in jeder \(\epsilon\)-Umgebung um \(a\) unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Beispiel

Die Folge \(a_n=(\me)^n\cdot \dfrac 1 n\) hat den Häufungspunkt \(0\).

Wenn \(\epsilon>0\) gegeben ist, gibt es nach Satz 5221B ein \(N\in\domN\) mit \(N>\dfrac 1 \epsilon\), also \(\dfrac 1 N <\epsilon\) und \(-\dfrac 1 N >-\epsilon\). Für alle \(n\geq N\) liegen dann alle \(a_n\) in \(U_\epsilon(0)\).

\(0\) ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Sei \(a\neq 0\). Wenn wir \(\epsilon\) genügend klein wählen (z.B. \(\epsilon<|a|/4\)), liegen in der \(\epsilon\)-Umgebung um \(a\) nur endlich viele Glieder, da der Rest in der \(\epsilon\)-Umgebung um \(0\) liegt.

 
 

Beispiel 16BB

Eine Folge kann auch mehrere Häufungspunkte besitzen; z.B.

\(a_n=(\me)^n\cdot \braceNT{1+\dfrac 1 n}\)
hat die Häufungspunkte \(\me\) und \(1\).

Es ist sogar möglich, dass Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben. Die Folge:

\(a_1=0,9\), \(a_2=1,9\)

\(a_3=0,99\), \(a_4=1,99\), \(a_5=2,99\)

\(a_6=0,999\), \(a_7=1,999\), \(a_8=2,999\), \(a_{9}=3,999\), usw.

hat alle positiven natürlichen Zahlen als Häufungspunkte.

Schreibt man die rationalen Zahlen als Folge (was möglich ist, da sie abzählbar unendlich sind), so sind alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Denn nach Satz 5224A enthält jede \(\epsilon\)-Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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