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Reelle Zahlen


Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Ein Punkt \(\displaystyle a\in \domR\) heißt Häufungspunkt (oder auch Häufungswert) einer Zahlenfolge \(\displaystyle (a_n)\), wenn in jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle a\) unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Beispiel

Die Folge \(\displaystyle a_n=(\me)^n\cdot \dfrac 1 n\) hat den Häufungspunkt \(\displaystyle 0\).

Wenn \(\displaystyle \epsilon>0\) gegeben ist, gibt es nach Satz 5221B ein \(\displaystyle N\in\domN\) mit \(\displaystyle N>\dfrac 1 \epsilon\), also \(\displaystyle \dfrac 1 N <\epsilon\) und \(\displaystyle -\dfrac 1 N >-\epsilon\). Für alle \(\displaystyle n\geq N\) liegen dann alle \(\displaystyle a_n\) in \(\displaystyle U_\epsilon(0)\).

\(\displaystyle 0\) ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Sei \(\displaystyle a\neq 0\). Wenn wir \(\displaystyle \epsilon\) genügend klein wählen (z.B. \(\displaystyle \epsilon<|a|/4\)), liegen in der \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle a\) nur endlich viele Glieder, da der Rest in der \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle 0\) liegt.

 
 

Beispiel 16BB

Eine Folge kann auch mehrere Häufungspunkte besitzen; z.B.

\(\displaystyle a_n=(\me)^n\cdot \braceNT{1+\dfrac 1 n}\)
hat die Häufungspunkte \(\displaystyle \me\) und \(\displaystyle 1\).

Es ist sogar möglich, dass Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben. Die Folge:

\(\displaystyle a_1=0,9\), \(\displaystyle a_2=1,9\)

\(\displaystyle a_3=0,99\), \(\displaystyle a_4=1,99\), \(\displaystyle a_5=2,99\)

\(\displaystyle a_6=0,999\), \(\displaystyle a_7=1,999\), \(\displaystyle a_8=2,999\), \(\displaystyle a_{9}=3,999\), usw.

hat alle positiven natürlichen Zahlen als Häufungspunkte.

Schreibt man die rationalen Zahlen als Folge (was möglich ist, da sie abzählbar unendlich sind), so sind alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Denn nach Satz 5224A enthält jede \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen.

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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