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Wurzelzieher Blog

Reelle Zahlen


Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Ein Punkt wFormel heißt Häufungspunkt (oder auch Häufungswert) einer Zahlenfolge (an ), wenn in jeder wFormel-Umgebung um a unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Beispiel

Die Folge wFormel hat den Häufungspunkt 0.
Wenn wFormel gegeben ist, gibt es nach Satz 5221B ein wFormel mit wFormel, also wFormel und wFormel. Für alle wFormel liegen dann alle an in wFormel.
0 ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Sei wFormel. Wenn wir wFormel genügend klein wählen (z.B. wFormel), liegen in der wFormel-Umgebung um a nur endlich viele Glieder, da der Rest in der wFormel-Umgebung um 0 liegt.

Beispiel 16BB

Eine Folge kann auch mehrere Häufungspunkte besitzen; z.B.
wFormel
hat die Häufungspunkte -1 und 1.
Es ist sogar möglich, dass Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben. Die Folge:
a1 = 0, 9, a2 = 1, 9
a3 = 0, 99, a4 = 1, 99, a5 = 2, 99
a6 = 0, 999, a7 = 1, 999, a8 = 2, 999, a9 = 3, 999, usw.
hat alle positiven natürlichen Zahlen als Häufungspunkte.
Schreibt man die rationalen Zahlen als Folge (was möglich ist, da sie abzählbar unendlich sind), so sind alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Denn nach Satz 5224A enthält jede wFormel-Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen.

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

 

 

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