Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

   - Reelle Zahlen

      - Axiomensystem

      - Zahlenbereiche

      - Betrag und Intervalle

      - Ungleichungen

      - Zahlenfolgen

         - Beispiele

         - Häufungspunkte

             Satz von Bolzano-

             Weierstraß

         - Konvergenz und Grenzwert

          Teilfolgen

         - Konvergenzuntersuchungen

          Limes superior/ inferior

      - Reihen

   - Reelle Funktionen

   - Funktionsfolgen und -reihen

   - Spezielle Funktionen

   - Mehrdimensionale Analysis

   - Funktionentheorie

   - Spezielle Teilgebiete

   - Maß- und Integrationstheorie

    Variationsrechnung

    Nichtstandardanalysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Ein Punkt heißt Häufungspunkt (oder auch Häufungswert) einer Zahlenfolge (a_n ), wenn in jeder -Umgebung um a unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Beispiel

Die Folge hat den Häufungspunkt 0.

Wenn gegeben ist, gibt es nach Satz 5221B ein mit , also und . Für alle liegen dann alle a_n in .

0 ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Sei . Wenn wir genügend klein wählen (z.B. ), liegen in der -Umgebung um a nur endlich viele Glieder, da der Rest in der -Umgebung um 0 liegt.

Beispiel 16BB

Eine Folge kann auch mehrere Häufungspunkte besitzen; z.B.

Es ist sogar möglich, dass Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben. Die Folge:

a₁ = 0, 9, a₂ = 1, 9

a₃ = 0, 99, a₄ = 1, 99, a₅ = 2, 99

a₆ = 0, 999, a₇ = 1, 999, a₈ = 2, 999, a₉ = 3, 999, usw.

hat alle positiven natürlichen Zahlen als Häufungspunkte.

Schreibt man die rationalen Zahlen als Folge (was möglich ist, da sie abzählbar unendlich sind), so sind alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Denn nach Satz 5224A enthält jede -Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Reelle Zahlen: Das klassische Kontinuum und die natürlichen ...

Oliver Deiser

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

J. Peter Böhmer

Arbeitsheft Mathematik, Bd.5, Reelle Zahlen, Potenzen, Quadr...

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

Zahl: Komplexe Zahl, Reelle Zahl, Eulersche Zahl, Goldener S...

Arbeitshefte Mathematik 5. Lösungen. Reelle Zahlen, Potenzen...

Peter J. Böhmer

Bücher zum Thema reelle Zahlen auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de