Inhalt

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   - Metrische Räume

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      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

          Innere, äußere und

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          Offener Kern

          Offene Mengen

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      - Folgen und Konvergenz

      - Abbildungen und Stetigkeit

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Häufungspunkte in metrischen Räumen

Sei M ein metrischer Raum und eine Teilmenge davon.

Ein Punkt heißt Berührungspunkt von A, wenn jede Umgebung um x wenigstens einen Punkt enthält.

Ein Punkt heißt Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung um x wenigstens einen von x verschiedenen Punkt enthält. Die Menge der Häufungspunkte von A wird mit A' bezeichnet.

Ein Häufungspunkt der Menge A muss nicht unbedingt zur Menge gehören. Ein Punkt von A, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt. Ein isolierter Punkt ist also Element der Menge .

Perfekte Mengen

Eine Teilmenge A eines metrischen Raums heißt perfekt, wenn sie abgeschlossen ist und jeder ihrer Punkte Häufungspunkt, also A = A' gilt.

Satz 5226B

Für jede Teilmenge gilt:

1.     
2. Die Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält, also gilt.
3. ist abgeschlossen
4. ist abgeschlossen todo!

Beweis

(ii) kann direkt aus der Definition der Rand- und Häufungspunkte abgelesen werden.

(iii) "": Sei A abgeschlossen und . Dann gilt für jede Umgebung U(x):

(1)

.

Wir nehmen an, dass , also . ist nach Voraussetzung offen, daher existiert eine -Umgebung mit , also , im Widerspruch zu (1). Also gilt und daher .

"": A enthalte alle seine Häufungspunkte. Dann enthält keinen Häufungspunkt. Wenn nun gilt und es muss ein U(x) existieren mit , also Wir finden damit eine -Umgebung um x, die ganz in liegt, also ist x innerer Punkt von . Damit ist offen und A abgeschlossen.

(iv) Aus (ii) folgt dann auch . Die andere Inklusion zeigen wir folgendermaßen: wenn gilt, dann ist auch . Bleibt der Fall , dann gilt - weil x Häufungspunkt ist - dass alle Umgebungen U(x) einen Punkt von A enthalten. Andererseits ist , also und U(x) enthält wenigstens einen Punkt von nämlich x. Damit gilt und somit die andere Inklusion.

Die Identität ergibt sich unter Benutzung von (i) und Satz 5226A rein mengenalgebraisch.

Die Abgeschlossenheit von folgt aus (iii).

Satz 15W3

Sei Teilmenge eine metrischen Raums und Häufungspunkt von A. Dann ist A unendlich.

Mengen mit Häufungspunkten sind also unendlich.

Beweis

Indirekt: Sei A endlich mit Elementen.

Wir finden mit x₁ einen beliebigen Punkt aus der 1-Umgebung um x, der auch zu A gehört. Sei nun . Dann gilt: . Nach Definition des Häufungspunkts muss es aber ein geben, wobei natürlich ist. Wenden wir diese Methode fortwährend an, können wir aber mehr als n verschiedene Elemente von A konstruieren, was ein Widerspruch zu Endlichkeit von A ist.

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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