Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Algebra

Gleichungen

Gruppen

Halbgruppen und Monoide

Beispiele

Gruppentafel

Kommutative Gruppen

Untergruppen

Homomorphismus

Spezielle Gruppen

Isomorphietypen

Ringe und Körper

Algebren

Polynome

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

Anbieterkennzeichnung

Weiterbildung für alle! Über 200 Fernlehrgänge an Deutschlands größter Fernschule!

Gruppentafel

Endliche Gruppen bis zu einer gewissen, vernünftig darstellbaren Größe, kann man in der Form von Gruppentafeln aufschreiben. Die folgende Tafel beschreibt die Gruppe

	+1	-1
+1	+1	-1
-1	-1	+1

Bei diesen Tafeln handelt es sich um Tabellen, in deren erster Zeile bzw. Spalte die Elemente der Gruppe stehen, und deren Inneres das Ergebnis der Operation bei ihrer Anwendung auf Zeile und Spalte beinhaltet.

Dabe wird zuerst in der Zeile und dann in der Spalte nachgesehen, da die Reihenfolge bei nicht kommutativen Gruppen wichtig ist.

Als weiteres die Gruppentafel der Gruppe . Man kann die erste Zeile und Spalte weglassen, da diese bei geeigneter Reihenfolge immer mit der zweiten identisch ist.

0	1	2	3
1	2	3	0
2	3	0	1
3	0	1	2

Symmetriegruppen

Bewegungen, die Figuren in sich selbst überführen, werden Symmetrien genannt. Diese Symmetrien bilden bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Rechteck

Nehmen wir als Beispiel ein Rechteck.

Neben der Identischen Abbildung I, die das Rechteck unverändert lässt, gibt es eine Drehung D um 180°, die es in sich selbst überführt. Außerdem sind noch zwei Spiegelungen möglich S₁ und S₂ an den entsprechenden Achsen.

Die Gruppentafel veranschaulicht, wie diese Symmetrien zusammenhängen und beschreibt damit die Symmetriegruppe des Rechtecks.

I	D	S₁	S₂
D	I	S₂	S₁
S₁	S₂	I	D
S₂	S₁	D	I

Diese Gruppe wird als Kleinsche Vierergruppe bezeichnet und man benutzt das Symbol D₂ . Sie ist kommutativ.

Gleichseitiges Dreieck

Für ein gleichseitiges Dreieck erhält man eine 6-elementige Symmetriegruppe bestehend aus 3 Drehungen (wir fassen die Identische Abbildung als Drehung um 0° auf) und drei Spiegelungen.

D_0°	D_120°	D_240°	S₁	S₂	S₃
D_120°	D_240°	D_0°	S₂	S₃	S₁
D_240°	D_0°	D_120°	S₃	S₁	S₂
S₁	S₃	S₂	D_0°	D_240°	D_120°
S₂	S₁	S₃	D_120°	D_0°	D_240°
S₃	S₂	S₁	D_240°	D_120°	D_0°

Diese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S₃ .

Ähnlich kann man die Symmetriegruppen aller regelmäßigen n-Ecke konstruieren. Im Grenzfall erhält man die Symmetriegruppe des Kreises, die natürlich nicht mehr endlich ist.

In Gruppentafeln gilt allgemein: Jedes Gruppenelement kommt in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

Druckansicht

Impressum: Wurzelzieher Mathepedia • Thomas Steinfeld • Dorfplatz 25 • 17237 Blankensee • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: matһе@wυrzеlzιeher.de

Amazon.de empfiehlt: