Inhalt

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Gruppen

Eine Gruppe besteht aus einem Grundbereich G und einer binären Operation , die je zwei Elementen ein Element zuordnet. Dabei sollen folgende Eigenschaften gelten:

1. Assoziativität für alle
2. Existenz eines neutralen Elements (Einselement) für alle
3. Existenz inverser Elemente

Man schreibt für das inverse Element a' auch a^-1 in Anlehnung an die Multiplikation der reellen Zahlen.

Anschaulich beschreibt eine Gruppe eine Menge mit einer Rechenoperation. Für diese Rechenoperation gelten einige Eigenschaften, die die Bezeichnung Rechenoperation erst sinnvoll erscheinen lassen.

Satz 5827A (Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element)

In einer Gruppe sind das neutrale Element und das inverse Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt.

Beweis

Obwohl wir in der Definition lediglich die Existenz eines neutralen Elements fordern, ist es auch eindeutig bestimmt. Denn, wenn e' ein zweites neutrales Element mit ist, dann gilt , was im Widerspruch zu unserer Behauptung ist.

Analog ist auch das inverse Element immer eindeutig bestimmt. Seien a' und a inverse Elemente zu einem , wobei gelte . Es gilt und somit auch , also und da a inverses Element zu a ist und damit gilt a' = a, im Widerspruch zur Annahme .

Die Anzahl der Elemente nennt man Ordnung der Gruppe und bezeichnet sie mit ord(G). Ist die Ordnung endlich so heißt die Gruppe endlich, andernfalls heißt sie unendlich.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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