Grundlagen der Mathematik

Unter Grundlagen der Mathematik werden diejenigen Sachverhalte verstanden, die es ermöglichen, überhaupt Mathematik zu betreiben. Einerseits haben wir die Elementarmathematik, die angefangen mit den Grundrechenarten in der Grundschule unter Zuhilfenahme der Anschauung und des gesunden Menschenverstandes grundlegende mathematische Zusammenhänge vermittelt. Dabei wird auf einen strengen axiomatischen Aufbau und weit reichende Abstraktionen verzichtet.

Das formale Fundament der "abstrakten" Mathematik ruht auf der Logik (Aussagenlogik und Prädikatenlogik), welche erklärt wie Aussagen zu neuen Aussagen kombiniert werden und was unter folgerichtigen mathematischen Schlüssen zu verstehen ist. Damit erklärt die Logik das "Wie" in der Mathematik.

Die Objekte der Mathematik, auf die dieses "Wie" anzuwenden sind, also das "Was" der Mathematik, werden in der Mengenlehre definiert. Dort wird entweder anschaulich intuitiv oder streng axiomatisch mit dem Begriff der Menge das strukturelle Fundament der Mathematik gelegt. Weitere mathematische Strukturen wie Relationen und Abbildungen werden dann als Teilmengen gewisser Mengen definiert.

Alle weiteren Teilgebiete der Mathematik lassen sich ausgehend von diesem Prinzip mengentheoretisch aufbauen.

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Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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