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Gradient

Der Gradient ist eine Funktion eines Skalarfeldes, welche die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung in Form eines Vektorfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen.

Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist.

Gradient wird also ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. Er hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche, auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind, und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein.

Der Gradient lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Divergenz und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

In den beiden folgenden Bildern stellen die Grauschattierungen das Skalarfeld dar, wobei schwarz den höchsten Funktionswert darstellt, und die Pfeile symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Zwei Skalarfelder mit den zugehörigen Gradienten

Gradient eines Skalarfeldes

Der Gradient eines Skalarfeldes ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist. Er wird als oder als geschrieben. Dabei ist der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. Für den Fall eines Skalarfeldes ist der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als

Allgemein gilt

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.

Darstellung in Zylinderkoordinaten:

Darstellung in Kugelkoordinaten:

Geometrische Interpretation

Geometrisch betrachtet stellt der Gradient einen Vektor dar, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Entspricht der Gradient dem Nullvektor, so befindet man sich an einem Extrempunkt, also einem Minimum, einem Maximum oder einem Sattelpunkt. Mittels dieses Vektors lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Dazu verwendet man die Richtungsableitung.

Der Begriff des Gradienten wird oft auch fälschlich für eine Ableitung nach der Zeit verwendet.

Rechenregeln

Für alle Konstanten und Skalarfelder gilt:

• grad c = 0

Linearität

• 
• grad (u + v) = grad u + grad v

Produktregel

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

Der Gradient in allgemein orthogonalen Koordinaten:

Weitere Beispiele

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip lässt sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes einschließlich eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss ist somit ein Vektorfeld, welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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