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Geschichtliches

Zahlentheorie in der Antike und im Mittelalter

Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die Babylonier und Ägypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner einer Million, die Quadratzahlen sowie einige pythagoräische Tripel.

Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v. Chr. im antiken Griechenland. Herausragendster Vertreter ist Euklid (ca. 300 v. Chr.), der die von Pythagoras erfundene Methode des mathematischen Beweises in die Zahlentheorie einführte. Sein berühmtestes Werk, Euklids Elemente, wurde bis in das achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch für Geometrie und Zahlentheorie verwendet. Die Bände 7, 8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen, unter anderem der Definition der Primzahl, einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (Euklidischer Algorithmus) und dem Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid).

Im Jahre 250 v. Chr. beschäftigte sich der griechische Mathematiker Diophant zuerst mit den gleichnamigen Gleichungen, die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Fälle zu reduzieren versuchte und tatsächlich einige einfache Gleichungen löste. Diophants Hauptwerk ist die Arithmetica.

Die Griechen warfen viele wichtige arithmetische Fragestellungen auf, die zum Teil bis heute ungelöst sind, wie z.B. das Problem der Primzahlzwillinge, der vollkommenen Zahlen oder der Dreieckszahlen (wobei letzteres von J.B. Tunnel unter Annahme einer schwachen Form der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer als nahezu gelöst betrachtet werden kann) oder deren Lösung viele Jahrtausende in Anspruch nahm und die exemplarisch für die Entwicklung der Zahlentheorie stehen.

Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blütezeit der Zahlentheorie in Europa. Aus dieser Zeit ist nur der Name des Leonardo di Pisa (ca. 1200 n. Chr.) (Fibonacci) nennenswert, der sich neben Zahlenfolgen und der Auflösung von Gleichungen durch Radikale auch mit diophantischen Gleichungen befasste. Am Ende des Mittelalters trat Marin Mersenne in Erscheinung, der die Mersenne-Primzahlen entdeckte.

Zahlentheorie in der frühen Neuzeit

Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war Pierre de Fermat (1607–1665). Er bewies den kleinen Satz von Fermat, untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des unendlichen Abstiegs, mit der er den von ihm aufgestellten großen Satz von Fermat im Falle n = 4 lösen konnte. Die allgemeine Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die Moderne.

Das achtzehnte Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht: Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) und Adrien-Marie Legendre (1752–1833).

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Er erfand die zahlentheoretischen Funktionen, insbesondere die eulersche Phifunktion, untersuchte Partitionen und betrachtet hundert Jahre vor Bernhard Riemann bereits die riemannsche Zeta-Funktion. Er entdeckte das quadratische Reziprozitätsgesetz, konnte es aber nicht beweisen, zeigte, dass die eulersche Zahl e irrational ist und löst den großen Satz von Fermat im Fall n = 3.

Lagrange beweist den Satz von Wilson, begründet die systematische Theorie der pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen, die erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts ihren Abschluss finden wird.

Legendre führt das Legendre-Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form. Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, was erst 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wird.

Die nächste große Zäsur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bestimmt. Gauß gab als Erster zwei vollständige Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkörper, wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb. Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in , den gaußschen Zahlen. Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskörper, d.h. die Lösungen der Gleichung x^p-1 = 1 und entwickelte das Kalkül der Gaußschen Summen, welches bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den gaußschen Primzahlsatz, konnte ihn allerdings bis zu seinem Tode nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbstständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist.

Das neunzehnte Jahrhundert

Das neunzehnte Jahrhundert ist vor allem die Blütezeit der analytischen Zahlentheorie. Unter Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacobi (1804–1851), Gotthold Eisenstein (1823–1852) und Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) wird die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelt, die schließlich die Theorie der elliptischen Kurven auf ein völlig neues Fundament stellt. Dirichlet erfindet den Begriff der L-Reihe und beweist damit den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der Modulformen um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw. fünf Quadraten zu untersuchen. Der Einheitensatz von Dirichlet (der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat), ist heute eine der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie.

Bernhard Riemann (1826–1866) entdeckte und bewies die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion und stellte tiefgreifende Vermutungen auf, die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten.

Für die gesamte Mathematik sehr bedeutsam, war das kurze Wirken des Evariste Galois (1811–1832), der die Galoistheorie entwickelte und damit viele alte Fragen, wie die Quadratur des Kreises, die Konstruktion von n-Ecken mittels Zirkel und Lineal und die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke klärte. Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle.

In der algebraischen Schule des neunzehnten Jahrhunderts sind vor allem Ernst Eduard Kummer (1810–1893) Leopold Kronecker (1823–1891), und Richard Dedekind (1831–1916) zu nennen. Diese begründeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra, insbesondere die Theorie der Gruppen, Ringe und Ideale, sowie der algebraische Zahlkörper. Kronecker führt den Begriff eines Divisors ein und entdeckt den heute Satz von Kronecker-Weber benannten Satz, wonach alle abelschen Erweiterungen in einem Kreisteilungskörper enthalten sind. Kummer bewies den großen Satz von Fermat für alle regulären Primzahlen und Dedekind zeigte die Existenz von Ganzheitsbasen in Zahlkörpern.

Das zwanzigste Jahrhundert und die Moderne

Das zwanzigste Jahrhundert brachte der Zahlentheorie endlich einige Lösungen, nach denen sie so lange geforscht hatte, nämlich:

Die komplette Lösung des einfachsten (nicht-trivialen) Typs der Diophantischen Gleichung: der Quadratischen Form
Mit Klassenkörpertheorie und Iwasawatheorie eine keineswegs vollständige, aber strukturell befriedigende Beschreibung der abelschen und zyklischen Zahlkörper, die zu einem allgemeinen Reziprozitätsgesetz für beliebige Potenzreste führte, dem Artischen Reziprozitätsgesetz.
Die (noch unbewiesene) Lösung des zweiteinfachsten Typs der Diophantischen Gleichung: den elliptischen Kurven

Bahnbrechend für die Zahlentheorie des zwanzigsten Jahrhunderts war die Entdeckung der p-adischen Zahlen durch Kurt Hensel. Aufbauend auf seinen Arbeiten konnten die Mathematiker Minkowski und Helmut Hasse das Problem der quadratischen Formen lösen: eine quadratische Form hat genau dann eine rationale Lösung , wenn sie eine Lösung in jedem Körper besitzt. Dieser berühmte Satz von Hasse-Minkowski liefert damit ein erstes Beispiel für ein Lokal-Global-Prinzip, die für die moderne Zahlentheorie sehr wichtig werden.

Aufbauend auf den Arbeiten von Kummer, wird die Klassenkörpertheorie am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von einer ganzen Reihe von Mathematikern entwickelt. Unter ihnen sind vor allem David Hilbert, Helmut Hasse, Philipp Furtwängler, Teiji Takagi und Emil Artin zu nennen, wobei Takagi den wichtigen Existenzsatz bewies, aus welchem Artin sein berühmtes Reziprozitätsgesetz ableitet. Eine komplette Berechnung des Hilbertsymbols und damit die praktische Anwendung des Reziprozitätsgesetzes, gab jedoch erst der Mathematiker Helmut Brückner in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. In die moderne Sprache der Gruppenkohomologie, abstrakten harmonischen Analysis und Darstellungstheorie wurde die Klassenkörpertheorie von Mathematikern wie John Tate und Richard Langlands übersetzt. Langlands vermutete weitgehende Verallgemeinerungen der Klassenkörpertheorie und legte so den Grundstein für das Langlands-Programm, das ein wichtiger Teil der aktiven zahlentheoretischen Forschung ist.

Für zyklotomische Körper entwickelte schließlich Kenkichi Iwasawa die Iwasawatheorie, die diese Körper noch besser erklären konnte. Mit diesen Körpern werden gewisse p-adische L-Reihen verknüpft. Die Haupvermutung der Iwasawatheorie, die die verschiedenen Möglichkeiten diese L-Reihen zu definieren für äquivalent erklärt, wurde für total-reelle Zahlkörper von Berry Mazur und Andrew Wiles am Ende der achtziger Jahre bewiesen.

Auch im Bereich der elliptischen Kurven machten die Zahlentheoretiker große Fortschritte. Louis Joel Mordell untersuchte das Gruppengesetz von elliptischen Kurven und zeigte, dass die Gruppe der rationalen Punkte stets endlich erzeugt ist, eine einfache Version des Satzes von Modell-Weil. Carl-Ludwig Siegel konnte schließlich zeigen, dass jede elliptische Kurve nur endlich viele ganze Lösungen besitzt (Satz von Siegel). Damit war das Problem der ganzen und rationalen Punkte auf elliptischen Kurven angreifbar geworden.

Mordell vermutete, dass für Kurven des Geschlechts > 1 (welche keine elliptischen Kurven mehr sind) die Menge der rationalen Punkte immer endlich ist (Mordell-Vermutung). Dies bewies der deutsche Mathematiker Gerd Faltings, wofür er 1986 die Fields-Medaille bekam. Damit war gezeigt, dass der große Satz von Fermat höchstens endlich viele Lösungen haben konnte.

Einen großen Durchbruch bedeuteten die Arbeiten von B. Birch und H.P.F. Swinnerton-Dyer in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. Sie vermuteten, dass eine elliptische Kurve genau dann unendlich viele rationale Lösungen besitzt, wenn ihre L-Reihe am Punkt s = 1 einen Wert ungleich Null annimmt. Dies ist eine sehr schwache Form der sogenannten Birch und Swinnerton-Dyer Vermutung. Obwohl sie prinzipiell unbewiesen ist, gibt es starke theoretische und nummerische Argumente für ihre Richtigkeit. In jüngster Zeit bewiesen Don Zagier und Benedikt H. Gross ihre Gültigkeit für eine Vielzahl elliptischer Kurven.

Nicht unerwähnt bleiben soll der Beweis des Modularitätssatzes, durch Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor im Jahre 2001, nachdem ihn Andrew Wiles zuvor schon für die meisten elliptischen Kurven bewiesen hatte (1995). Aus dem (von Wiles bewiesenen) Teil des Modularitätssatzes geht insbesondere hervor, dass der große Satz von Fermat wahr ist.

Wichtige Zahlentheoretiker

Diophant von Alexandrien
Euklid
Marin Mersenne
Pierre de Fermat
Leonhard Euler
Carl Friedrich Gauß
Joseph-Louis Lagrange
Adrien-Marie Legendre
Carl Gustav Jacob Jacobi
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Bernhard Riemann
Emil Artin
Goro Shimura
Yutaka Taniyama
Andrew Wiles
Helmut Hasse
Paul Erdös
Sophie Germain
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
André Weil

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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