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Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f heißt gerade, wenn für alle x gilt: f(x) = f(-x).

Eine Funktion f heißt ungerade, wenn für alle x gilt: f(x) = - f(-x).

Beispiele

1) f(x) = x ist ungerade, da f(-x) = -x = -f(x) ist.

2) f(x) = x² ist gerade, da f(-x) = (-x)² = x² = f(x) ist.

3) Die Sinusfunktion f(x) = sin x ist eine ungerade Funktion; die Cosinusfunktion f(x) = cos x ist eine gerade Funktion.

Die Eigenschaften gerade und ungerade Funktion verhalten wie ihre Entsprechungen bei Zahlen. So wie das Produkt zweier gerader Zahlen wieder eine gerade Zahl ist, so ist auch das Produkt zweier gerader Funktionen gerade. Analog gilt, dass das Produkt zweier ungerader Funktionen eine gerade Funktion ergibt.

Geometrische Deutung

Geometrische Deutung gerader und ungerader Funktionen

Für den Graphen der Funktion ergeben sich folgende Deutungen:

Gerade Funktionen sind symmetrisch zu y-Achse. Eine Spiegelung an der y-Achse überführt den Graphen der Funktion in sich.

Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Eine Punktspiegelung am Ursprung überführt den Graphen der Funktion in sich.

Satz 170N (Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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