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Geometrie

René Descartes, La Geometrie (Erstausgabe 1637)

Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreidimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden.

Andererseits umfasst der Begriff "Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:

• Geordnete Geometrie
• Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von so genannten Fernpunkten macht eine affine Geometrie zu einer projektiven.
• Euklidische Geometrie:
• Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
• Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien.

In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:

• Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
• Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
• Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
• Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
• Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr große und weitreichende Gebiete mathematischer Forschung.

• Geometrie im engeren Sinn
• Inzidenzgeometrie
• Differentialgeometrie
• Algebraische Geometrie
• Konvexe Geometrie
• Algorithmische Geometrie (computational geometry)

Schlagwörter im Bereich Geometrie

• Vektor- und Tensorrechnung
• Analytische Geometrie
• Quantengeometrie
• Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
• Fraktale Geometrie
• Geometrische Topologie
• Kombinatorische Geometrie
• Planimetrie, Trigonometrie, ...
• Mathematische Kartografie
• Darstellende Geometrie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie.

Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:

• GeoGebra (kostenlos)
• GEONExT (kostenlos)
• EUKLID DynaGeo (shareware)
• Cabri-Geometre
• Geometer's Sketchpad
• Cinderella (kostenlos)
• Z.u.L. (kostenlos) uvm.

Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonice Mundi, 1619)

"Geometriae practicae novae et auctae tractatus", Daniel Schwenter (1641)

Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.

Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.

• Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1638, Leiden) und
• im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
• Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur

• Euklid: Die Elemente.
• H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
• Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch

• Geometrische Figuren

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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