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Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren negative Zahlen. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol abgekürzt (das „Z“ steht für „Zahlen“). Das alternative Symbol Z ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit.

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Eigenschaften

Ring

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h. sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.

Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form

mit natürlichen Zahlen a und b stets gelöst werden: x = b - a. Beschränkt man x auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von n ist - n, das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Anordnung

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge

d.h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven {1, 2, 3, ...}, nichtnegativen {0, 1, 2, 3, }, negativen {..., - 2, -1} und nichtpositiven {..., - 2, -1, 0} ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d.h.

ist a < b und , dann ist a + c < b + d,

Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung 2x = 1 nicht in lösbar. Der kleinste Körper, der enthält, sind die rationalen Zahlen .

Euklidischer Ring

Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen, ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in .

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Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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