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Grundlagen der Mathematik

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Formale Theorien

Mathematiker beweisen wahre mathematische Aussagen. Die grundlegenden Wahrheiten sind Formeln, von denen man weiß (oder annimmt), dass sie Tautologien sind. Ein Beweis für eine Tautologie ist etwas, was jeden davon überzeugt, dass eine Tautologie ist.

Zum Beispiel kann eine Wahrheitstafel, in der in der rechten Spalte nur w stehen, als Beweis für eine Tautologie aufgefasst werden. Man kann den Beweis einfach überprüfen, indem man jede Zeile der Wahrheitstafel überprüft und dazu den Wahrheitswert der Formel unter der der Zeile entsprechenden Belegung ausrechnet. Wahrheitstafeln werden aber schnell sehr groß und sind dann nicht mehr handhabbar. Deshalb werden Beweise auch anders geführt.

Betrachten wir dazu einen Beweis der folgenden Behauptung. Behauptung: Sei n eine natürliche Zahl. Wenn n ungerade ist, dann ist n² ungerade.

Beweis: Sei n eine natürliche Zahl und n sei ungerade.

Weil n ungerade ist, hat n nicht den Primfaktor 2. n² hat die gleichen Primfaktoren wie n. Folglich hat n² nicht den Primfaktor 2. Also ist n² nicht gerade.

Wir schreiben den Beweis nochmals mit Bemerkungen dazu auf, wie die einzelnen Beweisschritte zustande kommen.

Aussage	Erläuterung	formal
n ist eine ungerade Zahl	Hypothese	A
n ist ungerade n hat nicht Primfaktor 2	Definition
n hat nicht Primfaktor 2 n² hat nicht Primfaktor 2	wahre Aussage
n² hat nicht Primfaktor 2 n² ist ungerade	Definition
n² ist ungerade	Folgerung	D

Zuerst wird die Hypothese A als wahr angenommen. Im nächsten Schritt wird die Definition von ungerade Zahl auf die Zahl n angewendet. Im darauffolgenden Beweisschritt zeigt man, dass die Aussage wahr ist und wendet danach die Definition ungerade Zahl an, aber diesmal auf die Zahl n² . Im abschließenden Schritt schlussfolgert man daraus D.

Insgesamt wird bewiesen. Dies ist in der Tat eine Tautologie. (Das zeigt aber nur, dass die Schlussfolgerungen im Beweis korrekt sind.)

Wir wollen diese Art des Beweisens nun auf formale Füße stellen und führen dazu den Begriff der formalen Theorie ein. Eine formale Theorie dient dazu, über Beweise sprechen zu können. Die Grundlage hierfür bildet eine Menge von Formeln. Eine Teilmenge davon sind die Theoreme (=Formeln, die man beweisen kann). Ein Beweis ist eine Kette von Schlussfolgerungen basierend auf grundlegenden Wahrheiten. Die grundlegenden Wahrheiten werden durch Axiome festgelegt. Die Art der Schlussfolgerungen wird durch die Ableitungsregeln festgelegt.

Definition formale Theorie

Eine formale Theorie ist ein Tripel bestehend aus

einer Menge von Formeln ,
einer Menge von Axiomen und
einer endlichen Menge entscheidbarer Relationen , die man als Ableitungsregeln bezeichnet.

Die Formelmenge bezeichnet man auch als Sprache der Theorie und die Formeln in werden auch als Formel in der Theorie bezeichnet. Theoreme einer Theorie sind die Formeln, die man beweisen kann.

Definition Beweis und Theorem

Ein Beweis in einer (formalen) Theorie ist eine Folge von Formeln von , so dass für (i = 1, 2, ..., n) gilt:

ist ein Axiom von oder
ist aus vorhergehenden Formeln (j₁ , j₂ , ..., j_m < i) mit einer Ableitungsregel von ableitbar, d.h. die Ableitungsregel gehört zu .

Ein Theorem von ist eine Formel, die am Ende eines Beweises in steht.

Beim Beweisen geht es auch um das korrekte Ziehen von (Schluss-)Folgerungen aus (bewiesenen oder unbewiesenen) Hypothesen. Daher soll auch dieser Begriff formal erfasst werden.

Definition Folgerung

ist eine Folgerung aus der Formelmenge in , falls es einen Beweis für in der Theorie gibt, in der man die Menge zu den Axiomen von hinzugenommen hat.

Schreibweisen:

bedeutet

ist Folgerung von

schreibt man für

bedeutet

ist Theorem von

Falls eine endliche Menge ist, schreibt man anstelle von und anstelle von .

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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