Flächeninhalt des Dreiecks

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, betrachten wir die nebenstehende Abbildung.

Das Dreieck \(\displaystyle \Delta ABC\) wird durch Spiegelung an der Seite \(\displaystyle \overline{BC}\) zum Parallelogramm \(\displaystyle ABDC\). Bezeichnen wir seinen Flächeninhalt mit \(\displaystyle A_P\), so wissen wir aus der Flächenformel fürs Parallelogramm, dass \(\displaystyle A_P=c\cdot h_c\). Für den Flächeninhalt des Dreiecks \(\displaystyle A\) gilt demnach

 
 

Formel 5504A (Flächeninhalt des Dreiecks)

(1)
\(\displaystyle A=\dfrac{c\cdot h_c}{2}\)

Analoge Formeln gelten für die anderen Seiten und ihre Höhen, so dass man allgemein sagen kann:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das Produkt aus der Länge einer Seite und der halben Länge der dazugehörigen Höhe.

Benutzen wir die Beziehung \(\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{h_c} b\), also \(\displaystyle h_b=b\cdot\sin\alpha\) und setzen diese in (1) ein, so erhalten wir den Flächeninhalt ausgedrückt durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel

Formel 5518B (Dreiecksfläche aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)

\(\displaystyle A=\dfrac 1 2 bc\cdot\sin \alpha =\dfrac 1 2 ab\cdot\sin \gamma =\dfrac 1 2 ac\cdot\sin \beta\)

Dabei können die Seiten und Winkel wieder zyklisch vertauscht werden.

Da die Höhe im Dreieck nicht immer zur Verfügung steht, stellt sich die Frage, wie man den Flächeninhalt alleinig aus den Längen der drei Seiten berechnet. Dafür gibt es die Flächenformel nach Heron:

Formel 5518A (Heronsche Flächenformel)

\(\displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\rho\cdot s=\dfrac{u\rho}2\)

In dieser Formel sind \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) die Dreiecksseiten und \(\displaystyle s=\dfrac{a+b+c}2\) der halbe Umfang und \(\displaystyle \rho\) der Radius des Inkreises.

Die Heronische Flächenformel kann als Spezialfall der Formel von Brahmagupta, die den Inhalt eines Sehnenvierecks berechnet, aufgefasst werden. Sie ergibt sich aus dieser wenn die Länge einer Vierecksseite 0 ist. Die folgende Herleitung greift jedoch nicht darauf zurück, sondern verdeutlicht den Zusammenhang von Inkreisradius und Flächeninhalt.

Herleitung

Sehen wir uns die Abbildung an, die wir zur Herleitung der Formel für den Inkreisradius des Dreiecks benutzt haben.

Es ist unmittelbar ersichtlich, dass der Flächeninhalt \(\displaystyle A\) des Dreiecks die Summe der paarweise kongruenten Teildreiecke ist. Damit gilt: \(\displaystyle A=\rho(x+y+z)\).

Wir wissen außerdem (Satz 5515J), dass \(\displaystyle \rho=\sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\) und \(\displaystyle s=x+y+z\) (siehe die entsprechenden Überlegungen zum Inkreis).

Damit erhalten wir: \(\displaystyle A= s\cdot \sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\) \(\displaystyle =\) \(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Formel B449 (Flächeninhalt aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln)

\(\displaystyle A=\dfrac {c^2}{2(\cot\alpha+\cot\beta)}\)

Da wegen des Innenwinkelsatzes zwei Winkel im Dreieck den dritten immer eindeutig bestimmen, kann mittels dieser Formel der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks bei dem zwei beliebige Winkel und eine Seite gegeben sind, bestimmt werden.

Herleitung

Nach Definition des Kotangens gilt \(\displaystyle \cot\alpha=\dfrac{c_1}h\) und \(\displaystyle \cot\beta=\dfrac{c_2}h\). Nach Formel 5504A gilt \(\displaystyle A=\dfrac 1 2 c\cdot h=\dfrac 1 2 \dfrac {c^2\cdot h}{c_1+c_2}\) \(\displaystyle =\dfrac 1 2 \dfrac {c^2\cdot h}{h(\cot\alpha+\cot\beta)}\) \(\displaystyle =\dfrac {c^2}{2(\cot\alpha+\cot\beta)}\).

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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