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Faktorgruppen

Normalteiler besitzen die schöne Eigenschaft, dass alle Nebenklassen bezüglich des Komplexproduktes wieder eine Gruppe bilden.

Satz 5213E (Faktorgruppen)

Sei H eine Untergruppe der Gruppe G. Dann ist H ein Normalteiler genau dann, wenn das System aller Linksnebenklassen bzgl. des Komplexproduktes eine Gruppe bildet.

Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von G nach H und wird mit G/H bezeichnet.

Beweis

"": Sei H Normalteiler von G, wir zeigen, dass dann die Nebenklassen eine Gruppe bilden.

Wenn aH und bH zwei Nebenklassen sind, so ist unter Benutzung der Normalteilereigenschaft: aHbH = aHHb. Damit operiert das Komplexprodukt auf der Menge der Linksnebenklassen.

Die Assoziativität ergibt sich den Eigenschaften des Komplexproduktes (Satz 5213A).

Das neutrale Element ist H, wie man mit der Identität aHH = aH schnell nachrechnet.

Das inverse Element zu aH ist a^-1 H und es gilt

"": Sei eine Untergruppe und die Linksnebenklassen aH bilden eine Untergruppe. Man sieht sofort, dass H das neutrale Element in der Faktorgruppe ist, denn aHH = aH; außerdem ist H = aH(aH)^-1 .

Damit gilt für beliebige und : und wir können Satz 5212A anwenden, womit H Normalteiler von G ist.

Ein analoger Satz gilt natürlich auch für die Rechtsnebenklassen.

Den Satz von Lagrange können wir für Normalteiler H auch als

schreiben.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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