Exponentialreihe

Die ersten Glieder der Exponentialreihe

Die ersten Glieder der Exponentialreihe

Sei \(\displaystyle x\in\R\) beliebig. Wir betrachten die Exponentialreihe

\(\displaystyle E(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\)

Behauptung: Die Exponentialreihe konvergiert für alle \(\displaystyle x\in\R\).

Beweis

Für \(\displaystyle x=0\) verschwinden alle \(\displaystyle x^n\) bis auf (\(\displaystyle x^0=1\)), daher ist die Reihe absolut konvergent mit \(\displaystyle E(0)=1\).

Sei \(\displaystyle x\not=0\). Wir setzen \(\displaystyle a_n:=\dfrac{x^n}{n!}\) und mit dem Quotientenkriterium gilt \(\displaystyle \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)\(\displaystyle =\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right|\)\(\displaystyle = |x|\cdot\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{|x|}{n+1}\to 0<1\) für \(\displaystyle n\to\infty\)

 
 

Satz 16M0 (Eigenschaften der Exponentialreihe)

  1. \(\displaystyle E(0)=1\);    \(\displaystyle E(1)=e\)
  2. \(\displaystyle E(x)>0\)    \(\displaystyle \forall x\in\R\)
  3. \(\displaystyle E(x+y)=E(x)E(y)\)    \(\displaystyle \forall x,y\in\R\)
    Mit Induktion: \(\displaystyle E(x_1+\cdots+x_l)=E(x_1)\cdot \cdots \cdot E(x_l)\)    \(\displaystyle \forall x_1,\ldots,x_l\in\R \)
  4. \(\displaystyle E(-x)=\dfrac{1}{E(x)}\)    \(\displaystyle \forall x\in\R\)
  5. \(\displaystyle E(r)=e^r\)    \(\displaystyle \forall r\in\Q\)
  6. \(\displaystyle x<y\Rightarrow E(x)<E(y)\)    \(\displaystyle \forall x,y\in\R\)

Beweis

(i) \(\displaystyle E(0)=1\) trivial und \(\displaystyle E(1)=\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e\) (eulersche Zahl).

(iii) \(\displaystyle E(x)\cdot E(y)\)\(\displaystyle =\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{y^n}{n!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\)    

Cauchy-Produkt mit \(\displaystyle c_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} \) \(\displaystyle =\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k}\) \(\displaystyle =\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom n k\,x^ky^{n-k}\)\(\displaystyle =\dfrac{1}{n!} (x+y)^n\)    (Binomischer Satz)

\(\displaystyle \Rightarrow\; E(x)\cdot E(y)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(x+y)^n}{n!}=E(x+y)\).

(ii) :\(\displaystyle E(x)=E\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(E\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2>0\).

(iv) \(\displaystyle 1=E(0)=E(x+(-x))=E(x)\cdot E(-x)\)

\(\displaystyle \Rightarrow\; E(x)\not=0\) und \(\displaystyle E(-x)=\dfrac{1}{E(x)}\).

(v) Für alle \(\displaystyle n\in\N\): \(\displaystyle E(n)=E(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{-mal}})\)\(\displaystyle =E(1)\cdot E(1) \cdots E(1)=E(1)^n=e^n\).

Ferner: \(\displaystyle e=E(1)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}}\)\(\displaystyle =\underbrace{E\left(\dfrac{1}{n}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}} =E\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\)

\(\displaystyle \Rightarrow\; e^\dfrac{1}{n}=E\left(\dfrac{1}{n}\right)\).

Also für alle \(\displaystyle r=\dfrac{n}{m}\in\Q\) mit \(\displaystyle m,n\in\N\): \(\displaystyle E\left(\dfrac{n}{m}\right)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}+\cdots+\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{- mal}}\)\(\displaystyle =\underbrace{E\left(\dfrac{1}{m}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{ -mal}}\)\(\displaystyle =E\left(\dfrac{1}{m}\right)^n=\left(e^\dfrac{1}{m}\right)^n=e^\dfrac{n}{m}\)

Schließlich für alle \(\displaystyle r\in\Q\):falls \(\displaystyle r>0\) \(\displaystyle \Rightarrow\; E(r)=e^r\)

Falls \(\displaystyle r<0\): :\(\displaystyle \Rightarrow\; -r>0\quad\)\(\displaystyle \Rightarrow\quad E(-r)=e^{-r}=\dfrac{1}{e^r}\) \(\displaystyle \Rightarrow\; E(r)=e^r\).

Falls \(\displaystyle r=0\) \(\displaystyle \Rightarrow\; E(0)=1=e^0\).

(vi) Schließlich seien \(\displaystyle x,y\in\R\) und \(\displaystyle x<y\), also \(\displaystyle y-x>0\) und damit

\(\displaystyle E(y-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(y-x)^n}{n!}\)\(\displaystyle =1+\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\dfrac{(y-x)^n}{n!}}_{>0}>1\)

Andererseits ist \(\displaystyle E(y-x)=E(y)\cdot E(-x)\)\(\displaystyle =\dfrac{E(y)}{E(x)}>1\) \(\displaystyle \Rightarrow\; E(y)>E(x)\)

Also: \(\displaystyle \forall x,y\in\R\; x<y\;\Rightarrow\; E(x)<E(y)\).\(\displaystyle \qed\)

 

Ohne Beweis merken wir an, dass diese Reihe \(\displaystyle E(x)\) nicht nur für alle rationalen Zahlen, sondern auch für alle reellen Zahlen mit der Exponentialfunktion \(\displaystyle e^x\) übereinstimmt.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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