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Funktionentheorie


Eulersche Formel

Im Komplexen sind die trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion mittels der Eulerschen Formel (andere Bezeichnung Eulersche Identität) verknüpft:
(1)
wFormel.
Die Formel kann aus den Potenzreihenentwicklungen der beteiligten Funktionen abgeleitet werden oder mit einfachen analytischen Mitteln bewiesen werden (siehe unten).
Aus der trigonometrischen Darstellung kann man sofort die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl ableiten:
wFormel
Die Beträge der Zahlen wFormel sind stets 1, damit liegen alle Zahlen dieser Art auf einem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.
Wenn man in (1) wFormel gegen wFormel ersetzt, erhält man
(2)
wFormel,
weil der Sinus eine ungerade Funktion ist und Kosinus eine gerade Funktion ist.
Addiert bzw. Subtrahiert man die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich eine Darstellung für den Sinus und Kosinus ausgedrückt durch Exponentialfunktionen:
wFormel        wFormel

Beweis

Wir betrachten die Funktion
wFormel
Die eulersche Formel (1) besagt gerade, dass f(x) = 1 für alle x.
Der Nenner eix ist nie null, denn es gilt wFormel und da wFormel als Körper nullteilerfrei ist, müssen beide Faktoren verschieden von 0 sein.
Wir zeigen nun: f '(x) = 0 für alle x.
Die Ableitung des Zählers ist
wFormel und die des Nenners wFormel.
Damit ergibt sich nach der Quotientenregel
wFormel wFormel
Da die Ableitung überall null ist, ist f konstant. Da wFormel gilt, ist f konstant gleich 1. wFormel

Beispiele

wFormel
wFormel

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

 

 

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