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Wurzelzieher Blog
 

Funktionentheorie


Eulersche Formel

Im Komplexen sind die trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion mittels der Eulerschen Formel (andere Bezeichnung Eulersche Identität) verknüpft:

(1)
\(\displaystyle \e^{\i\phi} =\cos \phi+\i\sin\phi\).

Die Formel kann aus den Potenzreihenentwicklungen der beteiligten Funktionen abgeleitet werden oder mit einfachen analytischen Mitteln bewiesen werden (siehe unten).

Aus der trigonometrischen Darstellung kann man sofort die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl ableiten:

\(\displaystyle z=|z|(\cos\phi +\i\sin\phi)=|z|\e^{\i\phi}\)

Die Beträge der Zahlen \(\displaystyle \e^{\i\phi}\) sind stets \(\displaystyle 1\), damit liegen alle Zahlen dieser Art auf einem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

Wenn man in (1) \(\displaystyle \phi\) gegen \(\displaystyle -\phi\) ersetzt, erhält man

(2)
\(\displaystyle \e^{\uminus\i\phi} =\cos \phi-\i\sin\phi\),

weil der Sinus eine ungerade Funktion ist und Kosinus eine gerade Funktion ist.

Addiert bzw. Subtrahiert man die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich eine Darstellung für den Sinus und Kosinus ausgedrückt durch Exponentialfunktionen:

\(\displaystyle \cos\phi=\dfrac 1 2 (\e^{\i\phi} +\e^{\uminus\i\phi} )\)        \(\displaystyle \sin\phi=\dfrac 1 {2\i} (\e^{\i\phi} -\e^{\uminus\i\phi} )\)

 
 

Beweis

Wir betrachten die Funktion

\(\displaystyle f(x)=\dfrac{\cos x+\mathrm i\cdot\sin x}{\mathrm e^{\mathrm ix}}\, \)

Die eulersche Formel (1) besagt gerade, dass \(\displaystyle f(x)=1\) für alle \(\displaystyle x\).

Der Nenner \(\displaystyle \mathrm e^{\mathrm ix} \) ist nie null, denn es gilt \(\displaystyle \mathrm e^{\mathrm ix}\cdot\mathrm e^{-\mathrm ix}=\mathrm e^0=1\) und da \(\displaystyle \C\) als Körper nullteilerfrei ist, müssen beide Faktoren verschieden von \(\displaystyle 0\) sein.

Wir zeigen nun: \(\displaystyle f\, '(x)=0\) für alle \(\displaystyle x\).

Die Ableitung des Zählers ist

\(\displaystyle -\sin x+\mathrm i\cdot\cos x,\) und die des Nenners \(\displaystyle \mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}\).

Damit ergibt sich nach der Quotientenregel

\(\displaystyle f'(x)=\dfrac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}\) \(\displaystyle =\dfrac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\mathrm i\cdot\cos x-\sin x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}=0\,\)

Da die Ableitung überall null ist, ist \(\displaystyle f\) konstant. Da \(\displaystyle f(0)=\dfrac{\cos 0+\mathrm i\cdot\sin 0}{\mathrm e^{\mathrm i\cdot0}}=1\) gilt, ist \(\displaystyle f\) konstant gleich \(\displaystyle 1\). \(\displaystyle \qed\)

Beispiele

\(\displaystyle \e^{\i\pi}=\cos \pi+ \i\sin \pi=-1\)

\(\displaystyle \sin \i=\dfrac 1 {2\i} (\e^{\i\cdot\i} -\e^{\uminus\i\cdot\i} ) =\dfrac 1 {2\i} \braceNT{\dfrac 1 \e-\e }\)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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